Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62589 / 76445
↖ ↑ ↗
← S 28.683359°
W  8.094177°		 ← 267.89 m → S 28.683359°
W  8.091431°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.685769°
W  8.094177°		 ← 267.88 m →
71 767 m²		 S 28.685769°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477519989013672 y=0.583232879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477519989013672 × 217)
    floor (0.477519989013672 × 131072)
    floor (62589.5)     		tx = 62589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583232879638672 × 217)
    floor (0.583232879638672 × 131072)
    floor (76445.5)     		ty = 76445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62589 / 76445 ti = "17/62589/76445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62589/76445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62589 ÷ 217
    62589 ÷ 131072     		x = 0.477516174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76445 ÷ 217
    76445 ÷ 131072     		y = 0.583229064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477516174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0449676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14127004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583229064941406 × 2 - 1) × π
    -0.166458129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.522943637955193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14127004} λ = -0.14127004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522943637955193))-π/2
    2×atan(0.592773067956122)-π/2
    2×0.535088633305096-π/2
    1.07017726661019-1.57079632675     		φ = -0.50061906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14127004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.094177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50061906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.683359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62589 KachelY 76445 -0.14127004 -0.50061906 -8.094177 -28.683359
    Oben rechts KachelX + 1 62590 KachelY 76445 -0.14122211 -0.50061906 -8.091431 -28.683359
    Unten links KachelX 62589 KachelY + 1 76446 -0.14127004 -0.50066111 -8.094177 -28.685769
    Unten rechts KachelX + 1 62590 KachelY + 1 76446 -0.14122211 -0.50066111 -8.091431 -28.685769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50061906--0.50066111) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50061906--0.50066111) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.50061906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877285600575106 × 6371000     		do = 267.889711881392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.50066111) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877265417114702 × 6371000     		du = 267.883548618951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50061906)-sin(-0.50066111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877285600575106-0.877265417114702)×R²
    abs(-0.14122211--0.14127004)×2.01834604039997e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.01834604039997e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.01834604039997e-05×40589641000000     		ar = 71766.9755923099m²