Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62589 / 76418
↖ ↑ ↗
← S 28.618282°
W  8.094177°		 ← 268.06 m → S 28.618282°
W  8.091431°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.620693°
W  8.094177°		 ← 268.05 m →
71 863 m²		 S 28.620693°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477519989013672 y=0.583026885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477519989013672 × 217)
    floor (0.477519989013672 × 131072)
    floor (62589.5)     		tx = 62589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583026885986328 × 217)
    floor (0.583026885986328 × 131072)
    floor (76418.5)     		ty = 76418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62589 / 76418 ti = "17/62589/76418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62589/76418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62589 ÷ 217
    62589 ÷ 131072     		x = 0.477516174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76418 ÷ 217
    76418 ÷ 131072     		y = 0.583023071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477516174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0449676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14127004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583023071289062 × 2 - 1) × π
    -0.166046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.521649341665451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14127004} λ = -0.14127004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521649341665451))-π/2
    2×atan(0.593540788660492)-π/2
    2×0.535656543312678-π/2
    1.07131308662536-1.57079632675     		φ = -0.49948324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14127004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.094177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49948324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.618282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62589 KachelY 76418 -0.14127004 -0.49948324 -8.094177 -28.618282
    Oben rechts KachelX + 1 62590 KachelY 76418 -0.14122211 -0.49948324 -8.091431 -28.618282
    Unten links KachelX 62589 KachelY + 1 76419 -0.14127004 -0.49952532 -8.094177 -28.620693
    Unten rechts KachelX + 1 62590 KachelY + 1 76419 -0.14122211 -0.49952532 -8.091431 -28.620693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49948324--0.49952532) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49948324--0.49952532) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.49948324) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87783019264546 × 6371000     		do = 268.056009621518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.49952532) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877810036727558 × 6371000     		du = 268.04985476951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49948324)-sin(-0.49952532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87783019264546-0.877810036727558)×R²
    abs(-0.14122211--0.14127004)×2.0155917902609e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.0155917902609e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.0155917902609e-05×40589641000000     		ar = 71862.7609318557m²