Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62589 / 39475
↖ ↑ ↗
← N 58.003732°
W  8.094177°		 ← 161.80 m → N 58.003732°
W  8.091431°		 →
↑
161.82 m
↓
↑
161.82 m
↓
N 58.002277°
W  8.094177°		 ← 161.81 m →
26 184 m²		 N 58.002277°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477519989013672 y=0.301174163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477519989013672 × 217)
    floor (0.477519989013672 × 131072)
    floor (62589.5)     		tx = 62589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301174163818359 × 217)
    floor (0.301174163818359 × 131072)
    floor (39475.5)     		ty = 39475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62589 / 39475 ti = "17/62589/39475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62589/39475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62589 ÷ 217
    62589 ÷ 131072     		x = 0.477516174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39475 ÷ 217
    39475 ÷ 131072     		y = 0.301170349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477516174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0449676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14127004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301170349121094 × 2 - 1) × π
    0.397659301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24928354099828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14127004} λ = -0.14127004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24928354099828))-π/2
    2×atan(3.48784316543707)-π/2
    2×1.29157621530755-π/2
    2.5831524306151-1.57079632675     		φ = 1.01235610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14127004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.094177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01235610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.003732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62589 KachelY 39475 -0.14127004 1.01235610 -8.094177 58.003732
    Oben rechts KachelX + 1 62590 KachelY 39475 -0.14122211 1.01235610 -8.091431 58.003732
    Unten links KachelX 62589 KachelY + 1 39476 -0.14127004 1.01233070 -8.094177 58.002277
    Unten rechts KachelX + 1 62590 KachelY + 1 39476 -0.14122211 1.01233070 -8.091431 58.002277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01235610-1.01233070) × R
    2.54000000001753e-05 × 6371000     		dl = 161.823400001117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01235610-1.01233070) × R
    2.54000000001753e-05 × 6371000     		dr = 161.823400001117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(1.01235610) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529864026477378 × 6371000     		do = 161.800354749111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(1.01233070) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529885567604747 × 6371000     		du = 161.806932591493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01235610)-sin(1.01233070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529864026477378-0.529885567604747)×R²
    abs(-0.14122211--0.14127004)×2.15411273691846e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15411273691846e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15411273691846e-05×40589641000000     		ar = 26183.6157525935m²