Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62586 / 39062
↖ ↑ ↗
← N 58.599749°
W  8.102417°		 ← 159.10 m → N 58.599749°
W  8.099671°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.598318°
W  8.102417°		 ← 159.10 m →
25 321 m²		 N 58.598318°
W  8.099671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477497100830078 y=0.298023223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477497100830078 × 217)
    floor (0.477497100830078 × 131072)
    floor (62586.5)     		tx = 62586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298023223876953 × 217)
    floor (0.298023223876953 × 131072)
    floor (39062.5)     		ty = 39062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62586 / 39062 ti = "17/62586/39062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62586/39062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62586 ÷ 217
    62586 ÷ 131072     		x = 0.477493286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39062 ÷ 217
    39062 ÷ 131072     		y = 0.298019409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477493286132812 × 2 - 1) × π
    -0.045013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14141385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298019409179688 × 2 - 1) × π
    0.403961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26908148054137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14141385} λ = -0.14141385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26908148054137))-π/2
    2×atan(3.55758335163435)-π/2
    2×1.2967774410311-π/2
    2.59355488206219-1.57079632675     		φ = 1.02275856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14141385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.102417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02275856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.599749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62586 KachelY 39062 -0.14141385 1.02275856 -8.102417 58.599749
    Oben rechts KachelX + 1 62587 KachelY 39062 -0.14136592 1.02275856 -8.099671 58.599749
    Unten links KachelX 62586 KachelY + 1 39063 -0.14141385 1.02273358 -8.102417 58.598318
    Unten rechts KachelX + 1 62587 KachelY + 1 39063 -0.14136592 1.02273358 -8.099671 58.598318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02275856-1.02273358) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dl = 159.147580000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02275856-1.02273358) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dr = 159.147580000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14141385--0.14136592) × cos(1.02275856) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521013371812368 × 6371000     		do = 159.097700873775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14141385--0.14136592) × cos(1.02273358) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521034693291698 × 6371000     		du = 159.104211643986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02275856)-sin(1.02273358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521013371812368-0.521034693291698)×R²
    abs(-0.14136592--0.14141385)×2.13214793306493e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13214793306493e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13214793306493e-05×40589641000000     		ar = 25320.5321657842m²