Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62585 / 39063
↖ ↑ ↗
← N 58.598318°
W  8.105164°		 ← 159.14 m → N 58.598318°
W  8.102417°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.596886°
W  8.105164°		 ← 159.14 m →
25 327 m²		 N 58.596886°
W  8.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477489471435547 y=0.298030853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477489471435547 × 217)
    floor (0.477489471435547 × 131072)
    floor (62585.5)     		tx = 62585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298030853271484 × 217)
    floor (0.298030853271484 × 131072)
    floor (39063.5)     		ty = 39063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62585 / 39063 ti = "17/62585/39063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62585/39063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62585 ÷ 217
    62585 ÷ 131072     		x = 0.477485656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39063 ÷ 217
    39063 ÷ 131072     		y = 0.298027038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477485656738281 × 2 - 1) × π
    -0.0450286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14146179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298027038574219 × 2 - 1) × π
    0.403945922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.26903354364175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14146179} λ = -0.14146179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26903354364175))-π/2
    2×atan(3.55741281620584)-π/2
    2×1.29676495289266-π/2
    2.59352990578533-1.57079632675     		φ = 1.02273358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14146179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.105164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02273358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.598318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62585 KachelY 39063 -0.14146179 1.02273358 -8.105164 58.598318
    Oben rechts KachelX + 1 62586 KachelY 39063 -0.14141385 1.02273358 -8.102417 58.598318
    Unten links KachelX 62585 KachelY + 1 39064 -0.14146179 1.02270860 -8.105164 58.596886
    Unten rechts KachelX + 1 62586 KachelY + 1 39064 -0.14141385 1.02270860 -8.102417 58.596886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02273358-1.02270860) × R
    2.49799999998412e-05 × 6371000     		dl = 159.147579998989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02273358-1.02270860) × R
    2.49799999998412e-05 × 6371000     		dr = 159.147579998989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14146179--0.14141385) × cos(1.02273358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521034693291698 × 6371000     		do = 159.137406764278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14146179--0.14141385) × cos(1.02270860) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521056014445903 × 6371000     		du = 159.143918793578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02273358)-sin(1.02270860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521034693291698-0.521056014445903)×R²
    abs(-0.14141385--0.14146179)×2.13211542046121e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13211542046121e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13211542046121e-05×40589641000000     		ar = 25326.8513619703m²