Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62584 / 33672
↖ ↑ ↗
← N 65.503854°
W  8.107910°		 ← 126.64 m → N 65.503854°
W  8.105164°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 65.502715°
W  8.107910°		 ← 126.64 m →
16 040 m²		 N 65.502715°
W  8.105164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477481842041016 y=0.256900787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477481842041016 × 217)
    floor (0.477481842041016 × 131072)
    floor (62584.5)     		tx = 62584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256900787353516 × 217)
    floor (0.256900787353516 × 131072)
    floor (33672.5)     		ty = 33672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62584 / 33672 ti = "17/62584/33672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62584/33672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62584 ÷ 217
    62584 ÷ 131072     		x = 0.47747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33672 ÷ 217
    33672 ÷ 131072     		y = 0.25689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25689697265625 × 2 - 1) × π
    0.4862060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52746136949347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14150973} λ = -0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52746136949347))-π/2
    2×atan(4.60646784640419)-π/2
    2×1.35702712220722-π/2
    2.71405424441443-1.57079632675     		φ = 1.14325792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14325792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.503854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62584 KachelY 33672 -0.14150973 1.14325792 -8.107910 65.503854
    Oben rechts KachelX + 1 62585 KachelY 33672 -0.14146179 1.14325792 -8.105164 65.503854
    Unten links KachelX 62584 KachelY + 1 33673 -0.14150973 1.14323804 -8.107910 65.502715
    Unten rechts KachelX + 1 62585 KachelY + 1 33673 -0.14146179 1.14323804 -8.105164 65.502715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14325792-1.14323804) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14325792-1.14323804) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14150973--0.14146179) × cos(1.14325792) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		do = 126.639296964947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14150973--0.14146179) × cos(1.14323804) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414650128276995 × 6371000     		du = 126.644822270086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14325792)-sin(1.14323804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414632037774409-0.414650128276995)×R²
    abs(-0.14146179--0.14150973)×1.80905025864431e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80905025864431e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80905025864431e-05×40589641000000     		ar = 16039.9108495204m²