Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62583 / 33675
↖ ↑ ↗
← N 65.500437°
W  8.110656°		 ← 126.63 m → N 65.500437°
W  8.107910°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 65.499298°
W  8.110656°		 ← 126.63 m →
16 039 m²		 N 65.499298°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477474212646484 y=0.256923675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477474212646484 × 217)
    floor (0.477474212646484 × 131072)
    floor (62583.5)     		tx = 62583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256923675537109 × 217)
    floor (0.256923675537109 × 131072)
    floor (33675.5)     		ty = 33675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62583 / 33675 ti = "17/62583/33675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62583/33675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62583 ÷ 217
    62583 ÷ 131072     		x = 0.477470397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33675 ÷ 217
    33675 ÷ 131072     		y = 0.256919860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477470397949219 × 2 - 1) × π
    -0.0450592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14155766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256919860839844 × 2 - 1) × π
    0.486160278320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.52731755879461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14155766} λ = -0.14155766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52731755879461))-π/2
    2×atan(4.60580543467601)-π/2
    2×1.35699730599459-π/2
    2.71399461198919-1.57079632675     		φ = 1.14319829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14155766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.110656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14319829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.500437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62583 KachelY 33675 -0.14155766 1.14319829 -8.110656 65.500437
    Oben rechts KachelX + 1 62584 KachelY 33675 -0.14150973 1.14319829 -8.107910 65.500437
    Unten links KachelX 62583 KachelY + 1 33676 -0.14155766 1.14317841 -8.110656 65.499298
    Unten rechts KachelX + 1 62584 KachelY + 1 33676 -0.14150973 1.14317841 -8.107910 65.499298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14319829-1.14317841) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14319829-1.14317841) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14155766--0.14150973) × cos(1.14319829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.414686299690889 × 6371000     		do = 126.629450286803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14155766--0.14150973) × cos(1.14317841) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41470438970191 × 6371000     		du = 126.63497428929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14319829)-sin(1.14317841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414686299690889-0.41470438970191)×R²
    abs(-0.14150973--0.14155766)×1.80900110203219e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80900110203219e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80900110203219e-05×40589641000000     		ar = 16038.6636312545m²