Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62582 / 76395
↖ ↑ ↗
← S 28.562813°
W  8.113403°		 ← 268.25 m → S 28.562813°
W  8.110656°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.565226°
W  8.113403°		 ← 268.25 m →
71 967 m²		 S 28.565226°
W  8.110656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477466583251953 y=0.582851409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477466583251953 × 217)
    floor (0.477466583251953 × 131072)
    floor (62582.5)     		tx = 62582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582851409912109 × 217)
    floor (0.582851409912109 × 131072)
    floor (76395.5)     		ty = 76395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62582 / 76395 ti = "17/62582/76395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62582/76395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62582 ÷ 217
    62582 ÷ 131072     		x = 0.477462768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76395 ÷ 217
    76395 ÷ 131072     		y = 0.582847595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477462768554688 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14160560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582847595214844 × 2 - 1) × π
    -0.165695190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.52054679297419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14160560} λ = -0.14160560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52054679297419))-π/2
    2×atan(0.594195557170993)-π/2
    2×0.536140596302581-π/2
    1.07228119260516-1.57079632675     		φ = -0.49851513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14160560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49851513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.562813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62582 KachelY 76395 -0.14160560 -0.49851513 -8.113403 -28.562813
    Oben rechts KachelX + 1 62583 KachelY 76395 -0.14155766 -0.49851513 -8.110656 -28.562813
    Unten links KachelX 62582 KachelY + 1 76396 -0.14160560 -0.49855724 -8.113403 -28.565226
    Unten rechts KachelX + 1 62583 KachelY + 1 76396 -0.14155766 -0.49855724 -8.110656 -28.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49851513--0.49855724) × R
    4.21100000000396e-05 × 6371000     		dl = 268.282810000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49851513--0.49855724) × R
    4.21100000000396e-05 × 6371000     		dr = 268.282810000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(-0.49851513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.878293478764367 × 6371000     		do = 268.25343568876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(-0.49855724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.878273344271834 × 6371000     		du = 268.247286096479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49851513)-sin(-0.49855724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878293478764367-0.878273344271834)×R²
    abs(-0.14155766--0.14160560)×2.01344925330194e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.01344925330194e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.01344925330194e-05×40589641000000     		ar = 71966.9606145215m²