Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62582 / 39458
↖ ↑ ↗
← N 58.028464°
W  8.113403°		 ← 161.72 m → N 58.028464°
W  8.110656°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.027009°
W  8.113403°		 ← 161.73 m →
26 161 m²		 N 58.027009°
W  8.110656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477466583251953 y=0.301044464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477466583251953 × 217)
    floor (0.477466583251953 × 131072)
    floor (62582.5)     		tx = 62582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301044464111328 × 217)
    floor (0.301044464111328 × 131072)
    floor (39458.5)     		ty = 39458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62582 / 39458 ti = "17/62582/39458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62582/39458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62582 ÷ 217
    62582 ÷ 131072     		x = 0.477462768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39458 ÷ 217
    39458 ÷ 131072     		y = 0.301040649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477462768554688 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14160560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301040649414062 × 2 - 1) × π
    0.397918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25009846829182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14160560} λ = -0.14160560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25009846829182))-π/2
    2×atan(3.49068666249249)-π/2
    2×1.2917920410381-π/2
    2.5835840820762-1.57079632675     		φ = 1.01278776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14160560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01278776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.028464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62582 KachelY 39458 -0.14160560 1.01278776 -8.113403 58.028464
    Oben rechts KachelX + 1 62583 KachelY 39458 -0.14155766 1.01278776 -8.110656 58.028464
    Unten links KachelX 62582 KachelY + 1 39459 -0.14160560 1.01276237 -8.113403 58.027009
    Unten rechts KachelX + 1 62583 KachelY + 1 39459 -0.14155766 1.01276237 -8.110656 58.027009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01278776-1.01276237) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01278776-1.01276237) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(1.01278776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529497893784423 × 6371000     		do = 161.722286037537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(1.01276237) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529519432236442 × 6371000     		du = 161.728864435183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01278776)-sin(1.01276237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529497893784423-0.529519432236442)×R²
    abs(-0.14155766--0.14160560)×2.15384520181328e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15384520181328e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15384520181328e-05×40589641000000     		ar = 26160.6789168711m²