Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62582 / 33674
↖ ↑ ↗
← N 65.501576°
W  8.113403°		 ← 126.65 m → N 65.501576°
W  8.110656°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 65.500437°
W  8.113403°		 ← 126.66 m →
16 033 m²		 N 65.500437°
W  8.110656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477466583251953 y=0.256916046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477466583251953 × 217)
    floor (0.477466583251953 × 131072)
    floor (62582.5)     		tx = 62582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256916046142578 × 217)
    floor (0.256916046142578 × 131072)
    floor (33674.5)     		ty = 33674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62582 / 33674 ti = "17/62582/33674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62582/33674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62582 ÷ 217
    62582 ÷ 131072     		x = 0.477462768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33674 ÷ 217
    33674 ÷ 131072     		y = 0.256912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477462768554688 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14160560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256912231445312 × 2 - 1) × π
    0.486175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52736549569423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14160560} λ = -0.14160560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52736549569423))-π/2
    2×atan(4.60602622800083)-π/2
    2×1.35700724516568-π/2
    2.71401449033136-1.57079632675     		φ = 1.14321816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14160560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14321816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.501576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62582 KachelY 33674 -0.14160560 1.14321816 -8.113403 65.501576
    Oben rechts KachelX + 1 62583 KachelY 33674 -0.14155766 1.14321816 -8.110656 65.501576
    Unten links KachelX 62582 KachelY + 1 33675 -0.14160560 1.14319829 -8.113403 65.500437
    Unten rechts KachelX + 1 62583 KachelY + 1 33675 -0.14155766 1.14319829 -8.110656 65.500437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14321816-1.14319829) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14321816-1.14319829) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(1.14321816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414668218615706 × 6371000     		do = 126.650347525174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14160560--0.14155766) × cos(1.14319829) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414686299690889 × 6371000     		du = 126.655869950942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14321816)-sin(1.14319829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414668218615706-0.414686299690889)×R²
    abs(-0.14155766--0.14160560)×1.80810751835847e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80810751835847e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80810751835847e-05×40589641000000     		ar = 16033.2412117746m²