Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62581 / 34341
↖ ↑ ↗
← N 64.730780°
W  8.116150°		 ← 130.38 m → N 64.730780°
W  8.113403°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 64.729607°
W  8.116150°		 ← 130.38 m →
17 003 m²		 N 64.729607°
W  8.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477458953857422 y=0.262004852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477458953857422 × 217)
    floor (0.477458953857422 × 131072)
    floor (62581.5)     		tx = 62581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262004852294922 × 217)
    floor (0.262004852294922 × 131072)
    floor (34341.5)     		ty = 34341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62581 / 34341 ti = "17/62581/34341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62581/34341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62581 ÷ 217
    62581 ÷ 131072     		x = 0.477455139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34341 ÷ 217
    34341 ÷ 131072     		y = 0.262001037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477455139160156 × 2 - 1) × π
    -0.0450897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14165354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262001037597656 × 2 - 1) × π
    0.475997924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.49539158364765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14165354} λ = -0.14165354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49539158364765))-π/2
    2×atan(4.46108309805825)-π/2
    2×1.35028078113509-π/2
    2.70056156227018-1.57079632675     		φ = 1.12976524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14165354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.116150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12976524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.730780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62581 KachelY 34341 -0.14165354 1.12976524 -8.116150 64.730780
    Oben rechts KachelX + 1 62582 KachelY 34341 -0.14160560 1.12976524 -8.113403 64.730780
    Unten links KachelX 62581 KachelY + 1 34342 -0.14165354 1.12974477 -8.116150 64.729607
    Unten rechts KachelX + 1 62582 KachelY + 1 34342 -0.14160560 1.12974477 -8.113403 64.729607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12976524-1.12974477) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12976524-1.12974477) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14165354--0.14160560) × cos(1.12976524) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426872115976693 × 6371000     		do = 130.377731907537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14165354--0.14160560) × cos(1.12974477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426890627153934 × 6371000     		du = 130.383385697545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12976524)-sin(1.12974477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426872115976693-0.426890627153934)×R²
    abs(-0.14160560--0.14165354)×1.85111772413871e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85111772413871e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85111772413871e-05×40589641000000     		ar = 17003.4984370697m²