Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62580 / 39404
↖ ↑ ↗
← N 58.106911°
W  8.118897°		 ← 161.37 m → N 58.106911°
W  8.116150°		 →
↑
161.38 m
↓
↑
161.38 m
↓
N 58.105459°
W  8.118897°		 ← 161.37 m →
26 042 m²		 N 58.105459°
W  8.116150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477451324462891 y=0.300632476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477451324462891 × 217)
    floor (0.477451324462891 × 131072)
    floor (62580.5)     		tx = 62580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300632476806641 × 217)
    floor (0.300632476806641 × 131072)
    floor (39404.5)     		ty = 39404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62580 / 39404 ti = "17/62580/39404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62580/39404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62580 ÷ 217
    62580 ÷ 131072     		x = 0.477447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39404 ÷ 217
    39404 ÷ 131072     		y = 0.300628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300628662109375 × 2 - 1) × π
    0.39874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25268706087131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14170148} λ = -0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25268706087131))-π/2
    2×atan(3.49973433339898)-π/2
    2×1.29247661607313-π/2
    2.58495323214625-1.57079632675     		φ = 1.01415691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01415691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.106911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62580 KachelY 39404 -0.14170148 1.01415691 -8.118897 58.106911
    Oben rechts KachelX + 1 62581 KachelY 39404 -0.14165354 1.01415691 -8.116150 58.106911
    Unten links KachelX 62580 KachelY + 1 39405 -0.14170148 1.01413158 -8.118897 58.105459
    Unten rechts KachelX + 1 62581 KachelY + 1 39405 -0.14165354 1.01413158 -8.116150 58.105459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01415691-1.01413158) × R
    2.53300000001566e-05 × 6371000     		dl = 161.377430000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01415691-1.01413158) × R
    2.53300000001566e-05 × 6371000     		dr = 161.377430000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14170148--0.14165354) × cos(1.01415691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528335932505643 × 6371000     		do = 161.367393154114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14170148--0.14165354) × cos(1.01413158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528357438403307 × 6371000     		du = 161.373961608822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01415691)-sin(1.01413158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528335932505643-0.528357438403307)×R²
    abs(-0.14165354--0.14170148)×2.15058976642535e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15058976642535e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15058976642535e-05×40589641000000     		ar = 26041.585194834m²