Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6258 / 6375
↖ ↑ ↗
← S 70.244603°
E 95.009766°		 ← 1 651.66 m → S 70.244603°
E 95.053711°		 →
↑
1 651.11 m
↓
↑
1 651.11 m
↓
S 70.259452°
E 95.009766°		 ← 1 650.47 m →
2 726 087 m²		 S 70.259452°
E 95.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76397705078125 y=0.77825927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76397705078125 × 213)
    floor (0.76397705078125 × 8192)
    floor (6258.5)     		tx = 6258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77825927734375 × 213)
    floor (0.77825927734375 × 8192)
    floor (6375.5)     		ty = 6375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6258 / 6375 ti = "13/6258/6375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6258/6375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6258 ÷ 213
    6258 ÷ 8192     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6375 ÷ 213
    6375 ÷ 8192     		y = 0.7781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74797110774573))-π/2
    2×atan(0.174126869962173)-π/2
    2×0.172398356037804-π/2
    0.344796712075608-1.57079632675     		φ = -1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6258 KachelY 6375 1.65823323 -1.22599961 95.009766 -70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 6259 KachelY 6375 1.65900022 -1.22599961 95.053711 -70.244603
    Unten links KachelX 6258 KachelY + 1 6376 1.65823323 -1.22625877 95.009766 -70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 6259 KachelY + 1 6376 1.65900022 -1.22625877 95.053711 -70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22599961--1.22625877) × R
    0.000259160000000147 × 6371000     		dl = 1651.10836000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22599961--1.22625877) × R
    0.000259160000000147 × 6371000     		dr = 1651.10836000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65900022) × cos(-1.22599961) × R
    0.000766990000000023 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 1651.66095014322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65900022) × cos(-1.22625877) × R
    0.000766990000000023 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 1650.46904513117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22599961)-sin(-1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.337761447152447)×R²
    abs(1.65900022-1.65823323)×0.000243918274581589×R²
    0.000766990000000023×0.000243918274581589×6371000²
    0.000766990000000023×0.000243918274581589×40589641000000     		ar = 2726087.23576213m²