Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6258 / 6045
↖ ↑ ↗
← S 64.717880°
E 95.009766°		 ← 2 086.90 m → S 64.717880°
E 95.053711°		 →
↑
2 086.18 m
↓
↑
2 086.18 m
↓
S 64.736641°
E 95.009766°		 ← 2 085.46 m →
4 352 153 m²		 S 64.736641°
E 95.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76397705078125 y=0.73797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76397705078125 × 213)
    floor (0.76397705078125 × 8192)
    floor (6258.5)     		tx = 6258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73797607421875 × 213)
    floor (0.73797607421875 × 8192)
    floor (6045.5)     		ty = 6045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6258 / 6045 ti = "13/6258/6045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6258/6045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6258 ÷ 213
    6258 ÷ 8192     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6045 ÷ 213
    6045 ÷ 8192     		y = 0.7379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49486427775183))-π/2
    2×atan(0.2242790423208)-π/2
    2×0.220628118589708-π/2
    0.441256237179417-1.57079632675     		φ = -1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6258 KachelY 6045 1.65823323 -1.12954009 95.009766 -64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 6259 KachelY 6045 1.65900022 -1.12954009 95.053711 -64.717880
    Unten links KachelX 6258 KachelY + 1 6046 1.65823323 -1.12986754 95.009766 -64.736641
    Unten rechts KachelX + 1 6259 KachelY + 1 6046 1.65900022 -1.12986754 95.053711 -64.736641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12954009--1.12986754) × R
    0.000327449999999896 × 6371000     		dl = 2086.18394999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12954009--1.12986754) × R
    0.000327449999999896 × 6371000     		dr = 2086.18394999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65900022) × cos(-1.12954009) × R
    0.000766990000000023 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 2086.90259613608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65900022) × cos(-1.12986754) × R
    0.000766990000000023 × 0.4267796026254 × 6371000     		du = 2085.45566453795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12954009)-sin(-1.12986754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.4267796026254)×R²
    abs(1.65900022-1.65823323)×0.000296108377166204×R²
    0.000766990000000023×0.000296108377166204×6371000²
    0.000766990000000023×0.000296108377166204×40589641000000     		ar = 4352153.45742071m²