Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62578 / 39570
↖ ↑ ↗
← N 57.865210°
W  8.124390°		 ← 162.46 m → N 57.865210°
W  8.121643°		 →
↑
162.46 m
↓
↑
162.46 m
↓
N 57.863749°
W  8.124390°		 ← 162.47 m →
26 394 m²		 N 57.863749°
W  8.121643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477436065673828 y=0.301898956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477436065673828 × 217)
    floor (0.477436065673828 × 131072)
    floor (62578.5)     		tx = 62578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301898956298828 × 217)
    floor (0.301898956298828 × 131072)
    floor (39570.5)     		ty = 39570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62578 / 39570 ti = "17/62578/39570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62578/39570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62578 ÷ 217
    62578 ÷ 131072     		x = 0.477432250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39570 ÷ 217
    39570 ÷ 131072     		y = 0.301895141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301895141601562 × 2 - 1) × π
    0.396209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24472953553438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14179735} λ = -0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24472953553438))-π/2
    2×atan(3.47199562089511)-π/2
    2×1.29036738179393-π/2
    2.58073476358785-1.57079632675     		φ = 1.00993844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00993844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.865210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62578 KachelY 39570 -0.14179735 1.00993844 -8.124390 57.865210
    Oben rechts KachelX + 1 62579 KachelY 39570 -0.14174941 1.00993844 -8.121643 57.865210
    Unten links KachelX 62578 KachelY + 1 39571 -0.14179735 1.00991294 -8.124390 57.863749
    Unten rechts KachelX + 1 62579 KachelY + 1 39571 -0.14174941 1.00991294 -8.121643 57.863749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00993844-1.00991294) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dl = 162.460500000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00993844-1.00991294) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dr = 162.460500000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14179735--0.14174941) × cos(1.00993844) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531912851334899 × 6371000     		do = 162.459876234459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14179735--0.14174941) × cos(1.00991294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531934444539051 × 6371000     		du = 162.466471354816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00993844)-sin(1.00991294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531912851334899-0.531934444539051)×R²
    abs(-0.14174941--0.14179735)×2.15932041519595e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15932041519595e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15932041519595e-05×40589641000000     		ar = 26393.8484476541m²