Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62577 / 25458
↖ ↑ ↗
← N 73.338887°
W  8.127136°		 ← 87.57 m → N 73.338887°
W  8.124390°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
N 73.338099°
W  8.127136°		 ← 87.57 m →
7 671 m²		 N 73.338099°
W  8.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477428436279297 y=0.194232940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477428436279297 × 217)
    floor (0.477428436279297 × 131072)
    floor (62577.5)     		tx = 62577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194232940673828 × 217)
    floor (0.194232940673828 × 131072)
    floor (25458.5)     		ty = 25458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62577 / 25458 ti = "17/62577/25458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62577/25458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62577 ÷ 217
    62577 ÷ 131072     		x = 0.477424621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25458 ÷ 217
    25458 ÷ 131072     		y = 0.194229125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477424621582031 × 2 - 1) × π
    -0.0451507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14184529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194229125976562 × 2 - 1) × π
    0.611541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92121506297261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14184529} λ = -0.14184529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92121506297261))-π/2
    2×atan(6.82925140056107)-π/2
    2×1.42540068099877-π/2
    2.85080136199753-1.57079632675     		φ = 1.28000504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14184529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.127136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28000504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.338887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62577 KachelY 25458 -0.14184529 1.28000504 -8.127136 73.338887
    Oben rechts KachelX + 1 62578 KachelY 25458 -0.14179735 1.28000504 -8.124390 73.338887
    Unten links KachelX 62577 KachelY + 1 25459 -0.14184529 1.27999129 -8.127136 73.338099
    Unten rechts KachelX + 1 62578 KachelY + 1 25459 -0.14179735 1.27999129 -8.124390 73.338099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28000504-1.27999129) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dl = 87.6012500009275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28000504-1.27999129) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dr = 87.6012500009275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14184529--0.14179735) × cos(1.28000504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.286710381228378 × 6371000     		do = 87.5687303524035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14184529--0.14179735) × cos(1.27999129) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.286723553939223 × 6371000     		du = 87.5727536373611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28000504)-sin(1.27999129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286710381228378-0.286723553939223)×R²
    abs(-0.14179735--0.14184529)×1.31727108448332e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.31727108448332e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.31727108448332e-05×40589641000000     		ar = 7671.30646235026m²