Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62576 / 40241
↖ ↑ ↗
← N 56.871495°
W  8.129883°		 ← 166.89 m → N 56.871495°
W  8.127136°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.869993°
W  8.129883°		 ← 166.89 m →
27 857 m²		 N 56.869993°
W  8.127136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477420806884766 y=0.307018280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477420806884766 × 217)
    floor (0.477420806884766 × 131072)
    floor (62576.5)     		tx = 62576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307018280029297 × 217)
    floor (0.307018280029297 × 131072)
    floor (40241.5)     		ty = 40241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62576 / 40241 ti = "17/62576/40241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62576/40241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62576 ÷ 217
    62576 ÷ 131072     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40241 ÷ 217
    40241 ÷ 131072     		y = 0.307014465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307014465332031 × 2 - 1) × π
    0.385971069335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21256387588932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21256387588932))-π/2
    2×atan(3.36209360241852)-π/2
    2×1.28169557934847-π/2
    2.56339115869695-1.57079632675     		φ = 0.99259483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99259483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.871495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62576 KachelY 40241 -0.14189322 0.99259483 -8.129883 56.871495
    Oben rechts KachelX + 1 62577 KachelY 40241 -0.14184529 0.99259483 -8.127136 56.871495
    Unten links KachelX 62576 KachelY + 1 40242 -0.14189322 0.99256863 -8.129883 56.869993
    Unten rechts KachelX + 1 62577 KachelY + 1 40242 -0.14184529 0.99256863 -8.127136 56.869993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99259483-0.99256863) × R
    2.62000000000873e-05 × 6371000     		dl = 166.920200000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99259483-0.99256863) × R
    2.62000000000873e-05 × 6371000     		dr = 166.920200000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14184529) × cos(0.99259483) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.546518670523417 × 6371000     		do = 166.886050663841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14184529) × cos(0.99256863) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.546540611445126 × 6371000     		du = 166.892750588234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99259483)-sin(0.99256863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546518670523417-0.546540611445126)×R²
    abs(-0.14184529--0.14189322)×2.19409217090405e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19409217090405e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19409217090405e-05×40589641000000     		ar = 27857.2121320747m²