Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62576 / 25489
↖ ↑ ↗
← N 73.314457°
W  8.129883°		 ← 87.68 m → N 73.314457°
W  8.127136°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.313668°
W  8.129883°		 ← 87.68 m →
7 692 m²		 N 73.313668°
W  8.127136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477420806884766 y=0.194469451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477420806884766 × 217)
    floor (0.477420806884766 × 131072)
    floor (62576.5)     		tx = 62576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194469451904297 × 217)
    floor (0.194469451904297 × 131072)
    floor (25489.5)     		ty = 25489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62576 / 25489 ti = "17/62576/25489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62576/25489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62576 ÷ 217
    62576 ÷ 131072     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25489 ÷ 217
    25489 ÷ 131072     		y = 0.194465637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194465637207031 × 2 - 1) × π
    0.611068725585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91972901908439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91972901908439))-π/2
    2×atan(6.81911037013051)-π/2
    2×1.42518749718277-π/2
    2.85037499436554-1.57079632675     		φ = 1.27957867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27957867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.314457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62576 KachelY 25489 -0.14189322 1.27957867 -8.129883 73.314457
    Oben rechts KachelX + 1 62577 KachelY 25489 -0.14184529 1.27957867 -8.127136 73.314457
    Unten links KachelX 62576 KachelY + 1 25490 -0.14189322 1.27956490 -8.129883 73.313668
    Unten rechts KachelX + 1 62577 KachelY + 1 25490 -0.14184529 1.27956490 -8.127136 73.313668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27957867-1.27956490) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27957867-1.27956490) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14184529) × cos(1.27957867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.287118824993735 × 6371000     		do = 87.6751872512538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14184529) × cos(1.27956490) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.2871320151803 × 6371000     		du = 87.6792150333992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27957867)-sin(1.27956490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287118824993735-0.2871320151803)×R²
    abs(-0.14184529--0.14189322)×1.31901865645379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.31901865645379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.31901865645379e-05×40589641000000     		ar = 7691.80424564896m²