Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62575 / 79153
↖ ↑ ↗
← S 34.996254°
W  8.132629°		 ← 250.20 m → S 34.996254°
W  8.129883°		 →
↑
250.19 m
↓
↑
250.19 m
↓
S 34.998504°
W  8.132629°		 ← 250.19 m →
62 597 m²		 S 34.998504°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477413177490234 y=0.603893280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477413177490234 × 217)
    floor (0.477413177490234 × 131072)
    floor (62575.5)     		tx = 62575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603893280029297 × 217)
    floor (0.603893280029297 × 131072)
    floor (79153.5)     		ty = 79153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62575 / 79153 ti = "17/62575/79153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62575/79153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62575 ÷ 217
    62575 ÷ 131072     		x = 0.477409362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79153 ÷ 217
    79153 ÷ 131072     		y = 0.603889465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477409362792969 × 2 - 1) × π
    -0.0451812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14194116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603889465332031 × 2 - 1) × π
    -0.207778930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.652756762126305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14194116} λ = -0.14194116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652756762126305))-π/2
    2×atan(0.520608602619244)-π/2
    2×0.479998236419199-π/2
    0.959996472838398-1.57079632675     		φ = -0.61079985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14194116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.132629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61079985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.996254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62575 KachelY 79153 -0.14194116 -0.61079985 -8.132629 -34.996254
    Oben rechts KachelX + 1 62576 KachelY 79153 -0.14189322 -0.61079985 -8.129883 -34.996254
    Unten links KachelX 62575 KachelY + 1 79154 -0.14194116 -0.61083912 -8.132629 -34.998504
    Unten rechts KachelX + 1 62576 KachelY + 1 79154 -0.14189322 -0.61083912 -8.129883 -34.998504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61079985--0.61083912) × R
    3.92699999999246e-05 × 6371000     		dl = 250.18916999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61079985--0.61083912) × R
    3.92699999999246e-05 × 6371000     		dr = 250.18916999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14194116--0.14189322) × cos(-0.61079985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.819189547667372 × 6371000     		do = 250.201573796698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14194116--0.14189322) × cos(-0.61083912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.819167024792535 × 6371000     		du = 250.194694730984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61079985)-sin(-0.61083912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819189547667372-0.819167024792535)×R²
    abs(-0.14189322--0.14194116)×2.25228748369499e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25228748369499e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25228748369499e-05×40589641000000     		ar = 62596.8635549519m²