Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62574 / 39050
↖ ↑ ↗
← N 58.616916°
W  8.135376°		 ← 159.05 m → N 58.616916°
W  8.132629°		 →
↑
159.02 m
↓
↑
159.02 m
↓
N 58.615486°
W  8.135376°		 ← 159.06 m →
25 293 m²		 N 58.615486°
W  8.132629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477405548095703 y=0.297931671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477405548095703 × 217)
    floor (0.477405548095703 × 131072)
    floor (62574.5)     		tx = 62574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297931671142578 × 217)
    floor (0.297931671142578 × 131072)
    floor (39050.5)     		ty = 39050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62574 / 39050 ti = "17/62574/39050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62574/39050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62574 ÷ 217
    62574 ÷ 131072     		x = 0.477401733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39050 ÷ 217
    39050 ÷ 131072     		y = 0.297927856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.045196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14198910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297927856445312 × 2 - 1) × π
    0.404144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26965672333681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14198910} λ = -0.14198910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26965672333681))-π/2
    2×atan(3.55963041454921)-π/2
    2×1.29692725884114-π/2
    2.59385451768228-1.57079632675     		φ = 1.02305819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14198910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02305819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.616916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62574 KachelY 39050 -0.14198910 1.02305819 -8.135376 58.616916
    Oben rechts KachelX + 1 62575 KachelY 39050 -0.14194116 1.02305819 -8.132629 58.616916
    Unten links KachelX 62574 KachelY + 1 39051 -0.14198910 1.02303323 -8.135376 58.615486
    Unten rechts KachelX + 1 62575 KachelY + 1 39051 -0.14194116 1.02303323 -8.132629 58.615486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02305819-1.02303323) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dl = 159.020159999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02305819-1.02303323) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dr = 159.020159999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14198910--0.14194116) × cos(1.02305819) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520757599687027 × 6371000     		do = 159.052775245022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14198910--0.14194116) × cos(1.02303323) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520778907991308 × 6371000     		du = 159.059283349625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02305819)-sin(1.02303323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520757599687027-0.520778907991308)×R²
    abs(-0.14194116--0.14198910)×2.13083042802653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13083042802653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13083042802653e-05×40589641000000     		ar = 25293.1152289683m²