Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62572 / 78908
↖ ↑ ↗
← S 34.443158°
W  8.140869°		 ← 251.88 m → S 34.443158°
W  8.138122°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 34.445424°
W  8.140869°		 ← 251.87 m →
63 450 m²		 S 34.445424°
W  8.138122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477390289306641 y=0.602024078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477390289306641 × 217)
    floor (0.477390289306641 × 131072)
    floor (62572.5)     		tx = 62572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602024078369141 × 217)
    floor (0.602024078369141 × 131072)
    floor (78908.5)     		ty = 78908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62572 / 78908 ti = "17/62572/78908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62572/78908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62572 ÷ 217
    62572 ÷ 131072     		x = 0.477386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78908 ÷ 217
    78908 ÷ 131072     		y = 0.602020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.04522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14208497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.20404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.641012221719391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14208497} λ = -0.14208497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641012221719391))-π/2
    2×atan(0.526758957237854)-π/2
    2×0.484824901576517-π/2
    0.969649803153035-1.57079632675     		φ = -0.60114652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14208497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.140869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60114652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.443158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62572 KachelY 78908 -0.14208497 -0.60114652 -8.140869 -34.443158
    Oben rechts KachelX + 1 62573 KachelY 78908 -0.14203703 -0.60114652 -8.138122 -34.443158
    Unten links KachelX 62572 KachelY + 1 78909 -0.14208497 -0.60118606 -8.140869 -34.445424
    Unten rechts KachelX + 1 62573 KachelY + 1 78909 -0.14203703 -0.60118606 -8.138122 -34.445424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60114652--0.60118606) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dl = 251.909339999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60114652--0.60118606) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dr = 251.909339999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14208497--0.14203703) × cos(-0.60114652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824687698707791 × 6371000     		do = 251.880850646705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14208497--0.14203703) × cos(-0.60118606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824665334699147 × 6371000     		du = 251.874020102815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60114652)-sin(-0.60118606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824687698707791-0.824665334699147)×R²
    abs(-0.14203703--0.14208497)×2.23640086435273e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23640086435273e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23640086435273e-05×40589641000000     		ar = 63450.2785143373m²