Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62572 / 39060
↖ ↑ ↗
← N 58.602610°
W  8.140869°		 ← 159.12 m → N 58.602610°
W  8.138122°		 →
↑
159.08 m
↓
↑
159.08 m
↓
N 58.601180°
W  8.140869°		 ← 159.12 m →
25 314 m²		 N 58.601180°
W  8.138122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477390289306641 y=0.298007965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477390289306641 × 217)
    floor (0.477390289306641 × 131072)
    floor (62572.5)     		tx = 62572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298007965087891 × 217)
    floor (0.298007965087891 × 131072)
    floor (39060.5)     		ty = 39060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62572 / 39060 ti = "17/62572/39060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62572/39060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62572 ÷ 217
    62572 ÷ 131072     		x = 0.477386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39060 ÷ 217
    39060 ÷ 131072     		y = 0.298004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.04522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14208497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298004150390625 × 2 - 1) × π
    0.40399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26917735434061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14208497} λ = -0.14208497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26917735434061))-π/2
    2×atan(3.55792444701718)-π/2
    2×1.29680241577509-π/2
    2.59360483155018-1.57079632675     		φ = 1.02280850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14208497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.140869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02280850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.602610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62572 KachelY 39060 -0.14208497 1.02280850 -8.140869 58.602610
    Oben rechts KachelX + 1 62573 KachelY 39060 -0.14203703 1.02280850 -8.138122 58.602610
    Unten links KachelX 62572 KachelY + 1 39061 -0.14208497 1.02278353 -8.140869 58.601180
    Unten rechts KachelX + 1 62573 KachelY + 1 39061 -0.14203703 1.02278353 -8.138122 58.601180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02280850-1.02278353) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dl = 159.083869999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02280850-1.02278353) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dr = 159.083869999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14208497--0.14203703) × cos(1.02280850) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520970744949873 × 6371000     		do = 159.117875294654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14208497--0.14203703) × cos(1.02278353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52099205854354 × 6371000     		du = 159.124385014772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02280850)-sin(1.02278353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520970744949873-0.52099205854354)×R²
    abs(-0.14203703--0.14208497)×2.13135936668607e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13135936668607e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13135936668607e-05×40589641000000     		ar = 25313.6051851108m²