Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62570 / 79018
↖ ↑ ↗
← S 34.691945°
W  8.146362°		 ← 251.08 m → S 34.691945°
W  8.143616°		 →
↑
251.08 m
↓
↑
251.08 m
↓
S 34.694203°
W  8.146362°		 ← 251.07 m →
63 040 m²		 S 34.694203°
W  8.143616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477375030517578 y=0.602863311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477375030517578 × 217)
    floor (0.477375030517578 × 131072)
    floor (62570.5)     		tx = 62570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602863311767578 × 217)
    floor (0.602863311767578 × 131072)
    floor (79018.5)     		ty = 79018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62570 / 79018 ti = "17/62570/79018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62570/79018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62570 ÷ 217
    62570 ÷ 131072     		x = 0.477371215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79018 ÷ 217
    79018 ÷ 131072     		y = 0.602859497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477371215820312 × 2 - 1) × π
    -0.045257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14218084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602859497070312 × 2 - 1) × π
    -0.205718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.646285280677597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14218084} λ = -0.14218084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646285280677597))-π/2
    2×atan(0.523988636650566)-π/2
    2×0.482653834075087-π/2
    0.965307668150175-1.57079632675     		φ = -0.60548866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14218084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60548866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.691945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62570 KachelY 79018 -0.14218084 -0.60548866 -8.146362 -34.691945
    Oben rechts KachelX + 1 62571 KachelY 79018 -0.14213291 -0.60548866 -8.143616 -34.691945
    Unten links KachelX 62570 KachelY + 1 79019 -0.14218084 -0.60552807 -8.146362 -34.694203
    Unten rechts KachelX + 1 62571 KachelY + 1 79019 -0.14213291 -0.60552807 -8.143616 -34.694203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60548866--0.60552807) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dl = 251.081109999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60548866--0.60552807) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dr = 251.081109999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14218084--0.14213291) × cos(-0.60548866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822224068165198 × 6371000     		do = 251.076010569792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14218084--0.14213291) × cos(-0.60552807) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822201636776118 × 6371000     		du = 251.069160875286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60548866)-sin(-0.60552807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822224068165198-0.822201636776118)×R²
    abs(-0.14213291--0.14218084)×2.2431389080424e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2431389080424e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2431389080424e-05×40589641000000     		ar = 63039.5835219497m²