Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62570 / 79016
↖ ↑ ↗
← S 34.687428°
W  8.146362°		 ← 251.09 m → S 34.687428°
W  8.143616°		 →
↑
251.08 m
↓
↑
251.08 m
↓
S 34.689686°
W  8.146362°		 ← 251.08 m →
63 043 m²		 S 34.689686°
W  8.143616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477375030517578 y=0.602848052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477375030517578 × 217)
    floor (0.477375030517578 × 131072)
    floor (62570.5)     		tx = 62570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602848052978516 × 217)
    floor (0.602848052978516 × 131072)
    floor (79016.5)     		ty = 79016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62570 / 79016 ti = "17/62570/79016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62570/79016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62570 ÷ 217
    62570 ÷ 131072     		x = 0.477371215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79016 ÷ 217
    79016 ÷ 131072     		y = 0.60284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477371215820312 × 2 - 1) × π
    -0.045257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14218084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.646189406878357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14218084} λ = -0.14218084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646189406878357))-π/2
    2×atan(0.524038875840193)-π/2
    2×0.482693250023117-π/2
    0.965386500046235-1.57079632675     		φ = -0.60540983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14218084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60540983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.687428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62570 KachelY 79016 -0.14218084 -0.60540983 -8.146362 -34.687428
    Oben rechts KachelX + 1 62571 KachelY 79016 -0.14213291 -0.60540983 -8.143616 -34.687428
    Unten links KachelX 62570 KachelY + 1 79017 -0.14218084 -0.60544924 -8.146362 -34.689686
    Unten rechts KachelX + 1 62571 KachelY + 1 79017 -0.14213291 -0.60544924 -8.143616 -34.689686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60540983--0.60544924) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dl = 251.081109999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60540983--0.60544924) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dr = 251.081109999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14218084--0.14213291) × cos(-0.60540983) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822268932803208 × 6371000     		do = 251.08971052673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14218084--0.14213291) × cos(-0.60544924) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822246503968558 × 6371000     		du = 251.08286161225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60540983)-sin(-0.60544924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822268932803208-0.822246503968558)×R²
    abs(-0.14213291--0.14218084)×2.242883465009e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.242883465009e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.242883465009e-05×40589641000000     		ar = 63043.023420281m²