Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62569 / 79022
↖ ↑ ↗
← S 34.700977°
W  8.149109°		 ← 251.10 m → S 34.700977°
W  8.146362°		 →
↑
251.08 m
↓
↑
251.08 m
↓
S 34.703235°
W  8.149109°		 ← 251.09 m →
63 046 m²		 S 34.703235°
W  8.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477367401123047 y=0.602893829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477367401123047 × 217)
    floor (0.477367401123047 × 131072)
    floor (62569.5)     		tx = 62569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602893829345703 × 217)
    floor (0.602893829345703 × 131072)
    floor (79022.5)     		ty = 79022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62569 / 79022 ti = "17/62569/79022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62569/79022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62569 ÷ 217
    62569 ÷ 131072     		x = 0.477363586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79022 ÷ 217
    79022 ÷ 131072     		y = 0.602890014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477363586425781 × 2 - 1) × π
    -0.0452728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14222878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.205780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.646477028276077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14222878} λ = -0.14222878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646477028276077))-π/2
    2×atan(0.523888172720024)-π/2
    2×0.482575008631516-π/2
    0.965150017263032-1.57079632675     		φ = -0.60564631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14222878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.149109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60564631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.700977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62569 KachelY 79022 -0.14222878 -0.60564631 -8.149109 -34.700977
    Oben rechts KachelX + 1 62570 KachelY 79022 -0.14218084 -0.60564631 -8.146362 -34.700977
    Unten links KachelX 62569 KachelY + 1 79023 -0.14222878 -0.60568572 -8.149109 -34.703235
    Unten rechts KachelX + 1 62570 KachelY + 1 79023 -0.14218084 -0.60568572 -8.146362 -34.703235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60564631--0.60568572) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dl = 251.081109999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60564631--0.60568572) × R
    3.9409999999962e-05 × 6371000     		dr = 251.081109999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14222878--0.14218084) × cos(-0.60564631) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822134329254074 × 6371000     		do = 251.10098589181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14222878--0.14218084) × cos(-0.60568572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822111892756875 × 6371000     		du = 251.09413320805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60564631)-sin(-0.60568572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822134329254074-0.822111892756875)×R²
    abs(-0.14218084--0.14222878)×2.24364971990187e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24364971990187e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24364971990187e-05×40589641000000     		ar = 63045.8539782472m²