Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62568 / 39048
↖ ↑ ↗
← N 58.619777°
W  8.151856°		 ← 159.04 m → N 58.619777°
W  8.149109°		 →
↑
159.08 m
↓
↑
159.08 m
↓
N 58.618347°
W  8.151856°		 ← 159.05 m →
25 301 m²		 N 58.618347°
W  8.149109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477359771728516 y=0.297916412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477359771728516 × 217)
    floor (0.477359771728516 × 131072)
    floor (62568.5)     		tx = 62568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297916412353516 × 217)
    floor (0.297916412353516 × 131072)
    floor (39048.5)     		ty = 39048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62568 / 39048 ti = "17/62568/39048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62568/39048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62568 ÷ 217
    62568 ÷ 131072     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39048 ÷ 217
    39048 ÷ 131072     		y = 0.29791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29791259765625 × 2 - 1) × π
    0.4041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26975259713605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26975259713605))-π/2
    2×atan(3.55997170620114)-π/2
    2×1.2969522213243-π/2
    2.5939044426486-1.57079632675     		φ = 1.02310812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02310812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.619777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62568 KachelY 39048 -0.14227672 1.02310812 -8.151856 58.619777
    Oben rechts KachelX + 1 62569 KachelY 39048 -0.14222878 1.02310812 -8.149109 58.619777
    Unten links KachelX 62568 KachelY + 1 39049 -0.14227672 1.02308315 -8.151856 58.618347
    Unten rechts KachelX + 1 62569 KachelY + 1 39049 -0.14222878 1.02308315 -8.149109 58.618347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02310812-1.02308315) × R
    2.49700000001241e-05 × 6371000     		dl = 159.08387000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02310812-1.02308315) × R
    2.49700000001241e-05 × 6371000     		dr = 159.08387000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14222878) × cos(1.02310812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520714973567876 × 6371000     		do = 159.039756131037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14222878) × cos(1.02308315) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520736291058314 × 6371000     		du = 159.046267041329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02310812)-sin(1.02308315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520714973567876-0.520736291058314)×R²
    abs(-0.14222878--0.14227672)×2.13174904385438e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13174904385438e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13174904385438e-05×40589641000000     		ar = 25301.1777809767m²