Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62566 / 78901
↖ ↑ ↗
← S 34.427302°
W  8.157349°		 ← 251.93 m → S 34.427302°
W  8.154602°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 34.429567°
W  8.157349°		 ← 251.92 m →
63 462 m²		 S 34.429567°
W  8.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477344512939453 y=0.601970672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477344512939453 × 217)
    floor (0.477344512939453 × 131072)
    floor (62566.5)     		tx = 62566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601970672607422 × 217)
    floor (0.601970672607422 × 131072)
    floor (78901.5)     		ty = 78901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62566 / 78901 ti = "17/62566/78901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62566/78901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62566 ÷ 217
    62566 ÷ 131072     		x = 0.477340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78901 ÷ 217
    78901 ÷ 131072     		y = 0.601966857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477340698242188 × 2 - 1) × π
    -0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601966857910156 × 2 - 1) × π
    -0.203933715820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.640676663422051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14237259} λ = -0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640676663422051))-π/2
    2×atan(0.526935745236335)-π/2
    2×0.484963280105281-π/2
    0.969926560210562-1.57079632675     		φ = -0.60086977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60086977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.427302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62566 KachelY 78901 -0.14237259 -0.60086977 -8.157349 -34.427302
    Oben rechts KachelX + 1 62567 KachelY 78901 -0.14232465 -0.60086977 -8.154602 -34.427302
    Unten links KachelX 62566 KachelY + 1 78902 -0.14237259 -0.60090931 -8.157349 -34.429567
    Unten rechts KachelX + 1 62567 KachelY + 1 78902 -0.14232465 -0.60090931 -8.154602 -34.429567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60086977--0.60090931) × R
    3.95400000000601e-05 × 6371000     		dl = 251.909340000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60086977--0.60090931) × R
    3.95400000000601e-05 × 6371000     		dr = 251.909340000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14237259--0.14232465) × cos(-0.60086977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824844193704398 × 6371000     		do = 251.92864824685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14237259--0.14232465) × cos(-0.60090931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824821838720795 × 6371000     		du = 251.92182045944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60086977)-sin(-0.60090931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824844193704398-0.824821838720795)×R²
    abs(-0.14232465--0.14237259)×2.23549836037007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23549836037007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23549836037007e-05×40589641000000     		ar = 63462.3195235994m²