Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62566 / 34890
↖ ↑ ↗
← N 64.079404°
W  8.157349°		 ← 133.51 m → N 64.079404°
W  8.154602°		 →
↑
133.47 m
↓
↑
133.47 m
↓
N 64.078204°
W  8.157349°		 ← 133.52 m →
17 820 m²		 N 64.078204°
W  8.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477344512939453 y=0.266193389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477344512939453 × 217)
    floor (0.477344512939453 × 131072)
    floor (62566.5)     		tx = 62566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266193389892578 × 217)
    floor (0.266193389892578 × 131072)
    floor (34890.5)     		ty = 34890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62566 / 34890 ti = "17/62566/34890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62566/34890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62566 ÷ 217
    62566 ÷ 131072     		x = 0.477340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34890 ÷ 217
    34890 ÷ 131072     		y = 0.266189575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477340698242188 × 2 - 1) × π
    -0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266189575195312 × 2 - 1) × π
    0.467620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46907422575624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14237259} λ = -0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46907422575624))-π/2
    2×atan(4.34521059438736)-π/2
    2×1.34459645561023-π/2
    2.68919291122047-1.57079632675     		φ = 1.11839658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11839658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.079404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62566 KachelY 34890 -0.14237259 1.11839658 -8.157349 64.079404
    Oben rechts KachelX + 1 62567 KachelY 34890 -0.14232465 1.11839658 -8.154602 64.079404
    Unten links KachelX 62566 KachelY + 1 34891 -0.14237259 1.11837563 -8.157349 64.078204
    Unten rechts KachelX + 1 62567 KachelY + 1 34891 -0.14232465 1.11837563 -8.154602 64.078204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11839658-1.11837563) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dl = 133.472449999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11839658-1.11837563) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dr = 133.472449999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14237259--0.14232465) × cos(1.11839658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437125124649276 × 6371000     		do = 133.509264668587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14237259--0.14232465) × cos(1.11837563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437143966998085 × 6371000     		du = 133.515019606915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11839658)-sin(1.11837563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437125124649276-0.437143966998085)×R²
    abs(-0.14232465--0.14237259)×1.88423488085565e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88423488085565e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88423488085565e-05×40589641000000     		ar = 17820.1927163301m²