Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62564 / 34020
↖ ↑ ↗
← N 65.104524°
W  8.162842°		 ← 128.57 m → N 65.104524°
W  8.160095°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 65.103368°
W  8.162842°		 ← 128.58 m →
16 531 m²		 N 65.103368°
W  8.160095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477329254150391 y=0.259555816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477329254150391 × 217)
    floor (0.477329254150391 × 131072)
    floor (62564.5)     		tx = 62564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259555816650391 × 217)
    floor (0.259555816650391 × 131072)
    floor (34020.5)     		ty = 34020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62564 / 34020 ti = "17/62564/34020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62564/34020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62564 ÷ 217
    62564 ÷ 131072     		x = 0.477325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34020 ÷ 217
    34020 ÷ 131072     		y = 0.259552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259552001953125 × 2 - 1) × π
    0.48089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51077932842569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14246847} λ = -0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51077932842569))-π/2
    2×atan(4.53025997931618)-π/2
    2×1.35354231212435-π/2
    2.7070846242487-1.57079632675     		φ = 1.13628830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13628830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.104524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62564 KachelY 34020 -0.14246847 1.13628830 -8.162842 65.104524
    Oben rechts KachelX + 1 62565 KachelY 34020 -0.14242053 1.13628830 -8.160095 65.104524
    Unten links KachelX 62564 KachelY + 1 34021 -0.14246847 1.13626812 -8.162842 65.103368
    Unten rechts KachelX + 1 62565 KachelY + 1 34021 -0.14242053 1.13626812 -8.160095 65.103368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13628830-1.13626812) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13628830-1.13626812) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14246847--0.14242053) × cos(1.13628830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.420964194624736 × 6371000     		do = 128.573300656829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14246847--0.14242053) × cos(1.13626812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.420982499358029 × 6371000     		du = 128.57889139354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13628830)-sin(1.13626812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420964194624736-0.420982499358029)×R²
    abs(-0.14242053--0.14246847)×1.83047332928954e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83047332928954e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83047332928954e-05×40589641000000     		ar = 16530.6146513946m²