Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62563 / 39758
↖ ↑ ↗
← N 57.589503°
W  8.165588°		 ← 163.67 m → N 57.589503°
W  8.162842°		 →
↑
163.73 m
↓
↑
163.73 m
↓
N 57.588031°
W  8.165588°		 ← 163.68 m →
26 799 m²		 N 57.588031°
W  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477321624755859 y=0.303333282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477321624755859 × 217)
    floor (0.477321624755859 × 131072)
    floor (62563.5)     		tx = 62563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303333282470703 × 217)
    floor (0.303333282470703 × 131072)
    floor (39758.5)     		ty = 39758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62563 / 39758 ti = "17/62563/39758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62563/39758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62563 ÷ 217
    62563 ÷ 131072     		x = 0.477317810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39758 ÷ 217
    39758 ÷ 131072     		y = 0.303329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477317810058594 × 2 - 1) × π
    -0.0453643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14251640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303329467773438 × 2 - 1) × π
    0.393341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23571739840581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14251640} λ = -0.14251640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23571739840581))-π/2
    2×atan(3.44084609298482)-π/2
    2×1.28796138627172-π/2
    2.57592277254345-1.57079632675     		φ = 1.00512645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14251640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.165588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00512645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.589503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62563 KachelY 39758 -0.14251640 1.00512645 -8.165588 57.589503
    Oben rechts KachelX + 1 62564 KachelY 39758 -0.14246847 1.00512645 -8.162842 57.589503
    Unten links KachelX 62563 KachelY + 1 39759 -0.14251640 1.00510075 -8.165588 57.588031
    Unten rechts KachelX + 1 62564 KachelY + 1 39759 -0.14246847 1.00510075 -8.162842 57.588031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00512645-1.00510075) × R
    2.56999999999064e-05 × 6371000     		dl = 163.734699999403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00512645-1.00510075) × R
    2.56999999999064e-05 × 6371000     		dr = 163.734699999403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14251640--0.14246847) × cos(1.00512645) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.535981466143646 × 6371000     		do = 163.66838854391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14251640--0.14246847) × cos(1.00510075) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.53600316267117 × 6371000     		du = 163.675013839599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00512645)-sin(1.00510075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535981466143646-0.53600316267117)×R²
    abs(-0.14246847--0.14251640)×2.1696527524151e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1696527524151e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1696527524151e-05×40589641000000     		ar = 26798.7368945587m²