Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62562 / 76618
↖ ↑ ↗
← S 29.099377°
W  8.168335°		 ← 266.87 m → S 29.099377°
W  8.165588°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.101777°
W  8.168335°		 ← 266.87 m →
71 206 m²		 S 29.101777°
W  8.165588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477313995361328 y=0.584552764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477313995361328 × 217)
    floor (0.477313995361328 × 131072)
    floor (62562.5)     		tx = 62562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584552764892578 × 217)
    floor (0.584552764892578 × 131072)
    floor (76618.5)     		ty = 76618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62562 / 76618 ti = "17/62562/76618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62562/76618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62562 ÷ 217
    62562 ÷ 131072     		x = 0.477310180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76618 ÷ 217
    76618 ÷ 131072     		y = 0.584548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477310180664062 × 2 - 1) × π
    -0.045379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14256434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584548950195312 × 2 - 1) × π
    -0.169097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.531236721589462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14256434} λ = -0.14256434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531236721589462))-π/2
    2×atan(0.587877479149035)-π/2
    2×0.531458194003856-π/2
    1.06291638800771-1.57079632675     		φ = -0.50787994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14256434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50787994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.099377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62562 KachelY 76618 -0.14256434 -0.50787994 -8.168335 -29.099377
    Oben rechts KachelX + 1 62563 KachelY 76618 -0.14251640 -0.50787994 -8.165588 -29.099377
    Unten links KachelX 62562 KachelY + 1 76619 -0.14256434 -0.50792182 -8.168335 -29.101777
    Unten rechts KachelX + 1 62563 KachelY + 1 76619 -0.14251640 -0.50792182 -8.165588 -29.101777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50787994--0.50792182) × R
    4.18799999999386e-05 × 6371000     		dl = 266.817479999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50787994--0.50792182) × R
    4.18799999999386e-05 × 6371000     		dr = 266.817479999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14256434--0.14251640) × cos(-0.50787994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873777510582739 × 6371000     		do = 266.874142765225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14256434--0.14251640) × cos(-0.50792182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873757142488597 × 6371000     		du = 266.867921824999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50787994)-sin(-0.50792182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873777510582739-0.873757142488597)×R²
    abs(-0.14251640--0.14256434)×2.03680941416318e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03680941416318e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03680941416318e-05×40589641000000     		ar = 71205.8563322733m²