Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62562 / 39786
↖ ↑ ↗
← N 57.548261°
W  8.168335°		 ← 163.89 m → N 57.548261°
W  8.165588°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.546787°
W  8.168335°		 ← 163.89 m →
26 866 m²		 N 57.546787°
W  8.165588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477313995361328 y=0.303546905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477313995361328 × 217)
    floor (0.477313995361328 × 131072)
    floor (62562.5)     		tx = 62562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303546905517578 × 217)
    floor (0.303546905517578 × 131072)
    floor (39786.5)     		ty = 39786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62562 / 39786 ti = "17/62562/39786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62562/39786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62562 ÷ 217
    62562 ÷ 131072     		x = 0.477310180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39786 ÷ 217
    39786 ÷ 131072     		y = 0.303543090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477310180664062 × 2 - 1) × π
    -0.045379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14256434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303543090820312 × 2 - 1) × π
    0.392913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23437516521645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14256434} λ = -0.14256434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23437516521645))-π/2
    2×atan(3.43623077326989)-π/2
    2×1.28760147636598-π/2
    2.57520295273197-1.57079632675     		φ = 1.00440663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14256434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00440663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.548261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62562 KachelY 39786 -0.14256434 1.00440663 -8.168335 57.548261
    Oben rechts KachelX + 1 62563 KachelY 39786 -0.14251640 1.00440663 -8.165588 57.548261
    Unten links KachelX 62562 KachelY + 1 39787 -0.14256434 1.00438090 -8.168335 57.546787
    Unten rechts KachelX + 1 62563 KachelY + 1 39787 -0.14251640 1.00438090 -8.165588 57.546787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00440663-1.00438090) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dl = 163.925830001071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00440663-1.00438090) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dr = 163.925830001071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14256434--0.14251640) × cos(1.00440663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536589020691668 × 6371000     		do = 163.88809872071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14256434--0.14251640) × cos(1.00438090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536610732612948 × 6371000     		du = 163.894730100334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00440663)-sin(1.00438090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536589020691668-0.536610732612948)×R²
    abs(-0.14251640--0.14256434)×2.17119212797545e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17119212797545e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17119212797545e-05×40589641000000     		ar = 26866.0361387293m²