Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62561 / 78989
↖ ↑ ↗
← S 34.626428°
W  8.171082°		 ← 251.33 m → S 34.626428°
W  8.168335°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 34.628688°
W  8.171082°		 ← 251.32 m →
63 151 m²		 S 34.628688°
W  8.168335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477306365966797 y=0.602642059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477306365966797 × 217)
    floor (0.477306365966797 × 131072)
    floor (62561.5)     		tx = 62561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602642059326172 × 217)
    floor (0.602642059326172 × 131072)
    floor (78989.5)     		ty = 78989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62561 / 78989 ti = "17/62561/78989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62561/78989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62561 ÷ 217
    62561 ÷ 131072     		x = 0.477302551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78989 ÷ 217
    78989 ÷ 131072     		y = 0.602638244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477302551269531 × 2 - 1) × π
    -0.0453948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14261228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602638244628906 × 2 - 1) × π
    -0.205276489257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.644895110588615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14261228} λ = -0.14261228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644895110588615))-π/2
    2×atan(0.524717576538024)-π/2
    2×0.483225575765198-π/2
    0.966451151530397-1.57079632675     		φ = -0.60434518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14261228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.171082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60434518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.626428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62561 KachelY 78989 -0.14261228 -0.60434518 -8.171082 -34.626428
    Oben rechts KachelX + 1 62562 KachelY 78989 -0.14256434 -0.60434518 -8.168335 -34.626428
    Unten links KachelX 62561 KachelY + 1 78990 -0.14261228 -0.60438462 -8.171082 -34.628688
    Unten rechts KachelX + 1 62562 KachelY + 1 78990 -0.14256434 -0.60438462 -8.168335 -34.628688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60434518--0.60438462) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dl = 251.272240000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60434518--0.60438462) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dr = 251.272240000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14261228--0.14256434) × cos(-0.60434518) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822874358048524 × 6371000     		do = 251.327009733976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14261228--0.14256434) × cos(-0.60438462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822851946679076 × 6371000     		du = 251.320164724878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60434518)-sin(-0.60438462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822874358048524-0.822851946679076)×R²
    abs(-0.14256434--0.14261228)×2.24113694481387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24113694481387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24113694481387e-05×40589641000000     		ar = 63150.6407363393m²