Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62561 / 39785
↖ ↑ ↗
← N 57.549734°
W  8.171082°		 ← 163.88 m → N 57.549734°
W  8.168335°		 →
↑
163.86 m
↓
↑
163.86 m
↓
N 57.548261°
W  8.171082°		 ← 163.89 m →
26 855 m²		 N 57.548261°
W  8.168335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477306365966797 y=0.303539276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477306365966797 × 217)
    floor (0.477306365966797 × 131072)
    floor (62561.5)     		tx = 62561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303539276123047 × 217)
    floor (0.303539276123047 × 131072)
    floor (39785.5)     		ty = 39785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62561 / 39785 ti = "17/62561/39785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62561/39785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62561 ÷ 217
    62561 ÷ 131072     		x = 0.477302551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39785 ÷ 217
    39785 ÷ 131072     		y = 0.303535461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477302551269531 × 2 - 1) × π
    -0.0453948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14261228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303535461425781 × 2 - 1) × π
    0.392929077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.23442310211607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14261228} λ = -0.14261228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23442310211607))-π/2
    2×atan(3.43639549946774)-π/2
    2×1.28761433731295-π/2
    2.5752286746259-1.57079632675     		φ = 1.00443235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14261228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.171082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00443235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.549734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62561 KachelY 39785 -0.14261228 1.00443235 -8.171082 57.549734
    Oben rechts KachelX + 1 62562 KachelY 39785 -0.14256434 1.00443235 -8.168335 57.549734
    Unten links KachelX 62561 KachelY + 1 39786 -0.14261228 1.00440663 -8.171082 57.548261
    Unten rechts KachelX + 1 62562 KachelY + 1 39786 -0.14256434 1.00440663 -8.168335 57.548261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00443235-1.00440663) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dl = 163.862120000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00443235-1.00440663) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dr = 163.862120000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14261228--0.14256434) × cos(1.00443235) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536567316853724 × 6371000     		do = 163.881469809851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14261228--0.14256434) × cos(1.00440663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536589020691668 × 6371000     		du = 163.888098720615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00443235)-sin(1.00440663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536567316853724-0.536589020691668)×R²
    abs(-0.14256434--0.14261228)×2.1703837943865e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1703837943865e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1703837943865e-05×40589641000000     		ar = 26854.5081869676m²