Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62560 / 39075
↖ ↑ ↗
← N 58.581140°
W  8.173828°		 ← 159.18 m → N 58.581140°
W  8.171082°		 →
↑
159.21 m
↓
↑
159.21 m
↓
N 58.579709°
W  8.173828°		 ← 159.19 m →
25 344 m²		 N 58.579709°
W  8.171082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477298736572266 y=0.298122406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477298736572266 × 217)
    floor (0.477298736572266 × 131072)
    floor (62560.5)     		tx = 62560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298122406005859 × 217)
    floor (0.298122406005859 × 131072)
    floor (39075.5)     		ty = 39075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62560 / 39075 ti = "17/62560/39075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62560/39075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62560 ÷ 217
    62560 ÷ 131072     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39075 ÷ 217
    39075 ÷ 131072     		y = 0.298118591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298118591308594 × 2 - 1) × π
    0.403762817382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26845830084631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26845830084631))-π/2
    2×atan(3.55536702858161)-π/2
    2×1.29661505537182-π/2
    2.59323011074365-1.57079632675     		φ = 1.02243378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02243378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.581140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62560 KachelY 39075 -0.14266021 1.02243378 -8.173828 58.581140
    Oben rechts KachelX + 1 62561 KachelY 39075 -0.14261228 1.02243378 -8.171082 58.581140
    Unten links KachelX 62560 KachelY + 1 39076 -0.14266021 1.02240879 -8.173828 58.579709
    Unten rechts KachelX + 1 62561 KachelY + 1 39076 -0.14261228 1.02240879 -8.171082 58.579709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02243378-1.02240879) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dl = 159.211290000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02243378-1.02240879) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dr = 159.211290000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14261228) × cos(1.02243378) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521290559815214 × 6371000     		do = 159.182343565016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14261228) × cos(1.02240879) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521311885600013 × 6371000     		du = 159.188855649953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02243378)-sin(1.02240879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521290559815214-0.521311885600013)×R²
    abs(-0.14261228--0.14266021)×2.13257847981874e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13257847981874e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13257847981874e-05×40589641000000     		ar = 25344.1446642609m²