Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62560 / 34869
↖ ↑ ↗
← N 64.104605°
W  8.173828°		 ← 133.36 m → N 64.104605°
W  8.171082°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
N 64.103406°
W  8.173828°		 ← 133.37 m →
17 792 m²		 N 64.103406°
W  8.171082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477298736572266 y=0.266033172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477298736572266 × 217)
    floor (0.477298736572266 × 131072)
    floor (62560.5)     		tx = 62560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266033172607422 × 217)
    floor (0.266033172607422 × 131072)
    floor (34869.5)     		ty = 34869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62560 / 34869 ti = "17/62560/34869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62560/34869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62560 ÷ 217
    62560 ÷ 131072     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34869 ÷ 217
    34869 ÷ 131072     		y = 0.266029357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266029357910156 × 2 - 1) × π
    0.467941284179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.47008090064826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47008090064826))-π/2
    2×atan(4.34958701123817)-π/2
    2×1.34481637747086-π/2
    2.68963275494172-1.57079632675     		φ = 1.11883643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11883643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.104605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62560 KachelY 34869 -0.14266021 1.11883643 -8.173828 64.104605
    Oben rechts KachelX + 1 62561 KachelY 34869 -0.14261228 1.11883643 -8.171082 64.104605
    Unten links KachelX 62560 KachelY + 1 34870 -0.14266021 1.11881549 -8.173828 64.103406
    Unten rechts KachelX + 1 62561 KachelY + 1 34870 -0.14261228 1.11881549 -8.171082 64.103406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11883643-1.11881549) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11883643-1.11881549) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14261228) × cos(1.11883643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.436729480977745 × 6371000     		do = 133.360600872215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14261228) × cos(1.11881549) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.436748318357026 × 6371000     		du = 133.366353092592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11883643)-sin(1.11881549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436729480977745-0.436748318357026)×R²
    abs(-0.14261228--0.14266021)×1.88373792809338e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88373792809338e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88373792809338e-05×40589641000000     		ar = 17791.8534268648m²