Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6256 / 6356
↖ ↑ ↗
← S 69.960439°
E 94.921875°		 ← 1 674.45 m → S 69.960439°
E 94.965820°		 →
↑
1 673.85 m
↓
↑
1 673.85 m
↓
S 69.975493°
E 94.921875°		 ← 1 673.24 m →
2 801 772 m²		 S 69.975493°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76373291015625 y=0.77593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76373291015625 × 213)
    floor (0.76373291015625 × 8192)
    floor (6256.5)     		tx = 6256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77593994140625 × 213)
    floor (0.77593994140625 × 8192)
    floor (6356.5)     		ty = 6356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6256 / 6356 ti = "13/6256/6356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6256/6356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6256 ÷ 213
    6256 ÷ 8192     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6356 ÷ 213
    6356 ÷ 8192     		y = 0.77587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73339829026123))-π/2
    2×atan(0.176682968600988)-π/2
    2×0.174878157712927-π/2
    0.349756315425855-1.57079632675     		φ = -1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6256 KachelY 6356 1.65669925 -1.22104001 94.921875 -69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 6257 KachelY 6356 1.65746624 -1.22104001 94.965820 -69.960439
    Unten links KachelX 6256 KachelY + 1 6357 1.65669925 -1.22130274 94.921875 -69.975493
    Unten rechts KachelX + 1 6257 KachelY + 1 6357 1.65746624 -1.22130274 94.965820 -69.975493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22104001--1.22130274) × R
    0.000262729999999989 × 6371000     		dl = 1673.85282999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22104001--1.22130274) × R
    0.000262729999999989 × 6371000     		dr = 1673.85282999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65746624) × cos(-1.22104001) × R
    0.000766990000000023 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 1674.44922152936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65746624) × cos(-1.22130274) × R
    0.000766990000000023 × 0.342422052760671 × 6371000     		du = 1673.2430631631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22104001)-sin(-1.22130274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342422052760671)×R²
    abs(1.65746624-1.65669925)×0.000246835162698633×R²
    0.000766990000000023×0.000246835162698633×6371000²
    0.000766990000000023×0.000246835162698633×40589641000000     		ar = 2801772.11846483m²