Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6256 / 6353
↖ ↑ ↗
← S 69.915214°
E 94.921875°		 ← 1 678.07 m → S 69.915214°
E 94.965820°		 →
↑
1 677.42 m
↓
↑
1 677.42 m
↓
S 69.930300°
E 94.921875°		 ← 1 676.86 m →
2 813 819 m²		 S 69.930300°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76373291015625 y=0.77557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76373291015625 × 213)
    floor (0.76373291015625 × 8192)
    floor (6256.5)     		tx = 6256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77557373046875 × 213)
    floor (0.77557373046875 × 8192)
    floor (6353.5)     		ty = 6353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6256 / 6353 ti = "13/6256/6353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6256/6353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6256 ÷ 213
    6256 ÷ 8192     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6353 ÷ 213
    6353 ÷ 8192     		y = 0.7755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73109731907947))-π/2
    2×atan(0.177089979100187)-π/2
    2×0.175272819697708-π/2
    0.350545639395417-1.57079632675     		φ = -1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6256 KachelY 6353 1.65669925 -1.22025069 94.921875 -69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 6257 KachelY 6353 1.65746624 -1.22025069 94.965820 -69.915214
    Unten links KachelX 6256 KachelY + 1 6354 1.65669925 -1.22051398 94.921875 -69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 6257 KachelY + 1 6354 1.65746624 -1.22051398 94.965820 -69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22025069--1.22051398) × R
    0.000263289999999916 × 6371000     		dl = 1677.42058999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22025069--1.22051398) × R
    0.000263289999999916 × 6371000     		dr = 1677.42058999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65746624) × cos(-1.22025069) × R
    0.000766990000000023 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 1678.07218873804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65746624) × cos(-1.22051398) × R
    0.000766990000000023 × 0.343163022658756 × 6371000     		du = 1676.86380759818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22025069)-sin(-1.22051398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.343163022658756)×R²
    abs(1.65746624-1.65669925)×0.000247290043831061×R²
    0.000766990000000023×0.000247290043831061×6371000²
    0.000766990000000023×0.000247290043831061×40589641000000     		ar = 2813819.37544899m²