Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62558 / 34082
↖ ↑ ↗
← N 65.032742°
W  8.179321°		 ← 128.92 m → N 65.032742°
W  8.176575°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 65.031582°
W  8.179321°		 ← 128.93 m →
16 625 m²		 N 65.031582°
W  8.176575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477283477783203 y=0.260028839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477283477783203 × 217)
    floor (0.477283477783203 × 131072)
    floor (62558.5)     		tx = 62558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260028839111328 × 217)
    floor (0.260028839111328 × 131072)
    floor (34082.5)     		ty = 34082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62558 / 34082 ti = "17/62558/34082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62558/34082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62558 ÷ 217
    62558 ÷ 131072     		x = 0.477279663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34082 ÷ 217
    34082 ÷ 131072     		y = 0.260025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14275609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260025024414062 × 2 - 1) × π
    0.479949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50780724064925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14275609} λ = -0.14275609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50780724064925))-π/2
    2×atan(4.5168156377856)-π/2
    2×1.35291589701488-π/2
    2.70583179402976-1.57079632675     		φ = 1.13503547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14275609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13503547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.032742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62558 KachelY 34082 -0.14275609 1.13503547 -8.179321 65.032742
    Oben rechts KachelX + 1 62559 KachelY 34082 -0.14270815 1.13503547 -8.176575 65.032742
    Unten links KachelX 62558 KachelY + 1 34083 -0.14275609 1.13501523 -8.179321 65.031582
    Unten rechts KachelX + 1 62559 KachelY + 1 34083 -0.14270815 1.13501523 -8.176575 65.031582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13503547-1.13501523) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13503547-1.13501523) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14275609--0.14270815) × cos(1.13503547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		do = 128.920289626726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14275609--0.14270815) × cos(1.13501523) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422118626024239 × 6371000     		du = 128.925893721227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13503547)-sin(1.13501523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422100277555966-0.422118626024239)×R²
    abs(-0.14270815--0.14275609)×1.83484682730883e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83484682730883e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83484682730883e-05×40589641000000     		ar = 16624.5089058051m²