Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62558 / 34074
↖ ↑ ↗
← N 65.042015°
W  8.179321°		 ← 128.88 m → N 65.042015°
W  8.176575°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.040856°
W  8.179321°		 ← 128.88 m →
16 611 m²		 N 65.040856°
W  8.176575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477283477783203 y=0.259967803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477283477783203 × 217)
    floor (0.477283477783203 × 131072)
    floor (62558.5)     		tx = 62558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259967803955078 × 217)
    floor (0.259967803955078 × 131072)
    floor (34074.5)     		ty = 34074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62558 / 34074 ti = "17/62558/34074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62558/34074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62558 ÷ 217
    62558 ÷ 131072     		x = 0.477279663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34074 ÷ 217
    34074 ÷ 131072     		y = 0.259963989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14275609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259963989257812 × 2 - 1) × π
    0.480072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50819073584621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14275609} λ = -0.14275609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50819073584621))-π/2
    2×atan(4.51854814707151)-π/2
    2×1.35299681966206-π/2
    2.70599363932412-1.57079632675     		φ = 1.13519731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14275609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13519731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.042015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62558 KachelY 34074 -0.14275609 1.13519731 -8.179321 65.042015
    Oben rechts KachelX + 1 62559 KachelY 34074 -0.14270815 1.13519731 -8.176575 65.042015
    Unten links KachelX 62558 KachelY + 1 34075 -0.14275609 1.13517708 -8.179321 65.040856
    Unten rechts KachelX + 1 62559 KachelY + 1 34075 -0.14270815 1.13517708 -8.176575 65.040856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13519731-1.13517708) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13519731-1.13517708) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14275609--0.14270815) × cos(1.13519731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421953556114813 × 6371000     		do = 128.875477121988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14275609--0.14270815) × cos(1.13517708) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421971896899436 × 6371000     		du = 128.881078869704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13519731)-sin(1.13517708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421953556114813-0.421971896899436)×R²
    abs(-0.14270815--0.14275609)×1.83407846228167e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83407846228167e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83407846228167e-05×40589641000000     		ar = 16610.5193899128m²