Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62556 / 34081
↖ ↑ ↗
← N 65.033901°
W  8.184814°		 ← 128.91 m → N 65.033901°
W  8.182068°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.032742°
W  8.184814°		 ← 128.92 m →
16 616 m²		 N 65.032742°
W  8.182068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477268218994141 y=0.260021209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477268218994141 × 217)
    floor (0.477268218994141 × 131072)
    floor (62556.5)     		tx = 62556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260021209716797 × 217)
    floor (0.260021209716797 × 131072)
    floor (34081.5)     		ty = 34081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62556 / 34081 ti = "17/62556/34081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62556/34081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62556 ÷ 217
    62556 ÷ 131072     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34081 ÷ 217
    34081 ÷ 131072     		y = 0.260017395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260017395019531 × 2 - 1) × π
    0.479965209960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.50785517754887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50785517754887))-π/2
    2×atan(4.51703216511322)-π/2
    2×1.35292601388443-π/2
    2.70585202776886-1.57079632675     		φ = 1.13505570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13505570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.033901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62556 KachelY 34081 -0.14285196 1.13505570 -8.184814 65.033901
    Oben rechts KachelX + 1 62557 KachelY 34081 -0.14280402 1.13505570 -8.182068 65.033901
    Unten links KachelX 62556 KachelY + 1 34082 -0.14285196 1.13503547 -8.184814 65.032742
    Unten rechts KachelX + 1 62557 KachelY + 1 34082 -0.14280402 1.13503547 -8.182068 65.032742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13505570-1.13503547) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13505570-1.13503547) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14280402) × cos(1.13505570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422081937980353 × 6371000     		do = 128.914688248274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14280402) × cos(1.13503547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		du = 128.920289626726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13505570)-sin(1.13503547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422081937980353-0.422100277555966)×R²
    abs(-0.14280402--0.14285196)×1.83395756125915e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83395756125915e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83395756125915e-05×40589641000000     		ar = 16615.5731049029m²