Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62555 / 34115
↖ ↑ ↗
← N 64.994456°
W  8.187561°		 ← 129.11 m → N 64.994456°
W  8.184814°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 64.993296°
W  8.187561°		 ← 129.11 m →
16 665 m²		 N 64.993296°
W  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477260589599609 y=0.260280609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477260589599609 × 217)
    floor (0.477260589599609 × 131072)
    floor (62555.5)     		tx = 62555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260280609130859 × 217)
    floor (0.260280609130859 × 131072)
    floor (34115.5)     		ty = 34115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62555 / 34115 ti = "17/62555/34115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62555/34115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62555 ÷ 217
    62555 ÷ 131072     		x = 0.477256774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34115 ÷ 217
    34115 ÷ 131072     		y = 0.260276794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477256774902344 × 2 - 1) × π
    -0.0454864501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14289990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260276794433594 × 2 - 1) × π
    0.479446411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50622532296178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14289990} λ = -0.14289990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50622532296178))-π/2
    2×atan(4.50967605584154)-π/2
    2×1.35258179358097-π/2
    2.70516358716194-1.57079632675     		φ = 1.13436726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14289990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.187561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13436726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.994456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62555 KachelY 34115 -0.14289990 1.13436726 -8.187561 64.994456
    Oben rechts KachelX + 1 62556 KachelY 34115 -0.14285196 1.13436726 -8.184814 64.994456
    Unten links KachelX 62555 KachelY + 1 34116 -0.14289990 1.13434700 -8.187561 64.993296
    Unten rechts KachelX + 1 62556 KachelY + 1 34116 -0.14285196 1.13434700 -8.184814 64.993296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13436726-1.13434700) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13436726-1.13434700) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14289990--0.14285196) × cos(1.13436726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42270594848146 × 6371000     		do = 129.105277117342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14289990--0.14285196) × cos(1.13434700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		du = 129.110885002854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13436726)-sin(1.13434700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42270594848146-0.422724309361955)×R²
    abs(-0.14285196--0.14289990)×1.83608804948943e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83608804948943e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83608804948943e-05×40589641000000     		ar = 16664.8140614262m²