Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62554 / 25528
↖ ↑ ↗
← N 73.283675°
W  8.190307°		 ← 87.83 m → N 73.283675°
W  8.187561°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 73.282885°
W  8.190307°		 ← 87.84 m →
7 717 m²		 N 73.282885°
W  8.187561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477252960205078 y=0.194766998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477252960205078 × 217)
    floor (0.477252960205078 × 131072)
    floor (62554.5)     		tx = 62554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194766998291016 × 217)
    floor (0.194766998291016 × 131072)
    floor (25528.5)     		ty = 25528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62554 / 25528 ti = "17/62554/25528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62554/25528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62554 ÷ 217
    62554 ÷ 131072     		x = 0.477249145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25528 ÷ 217
    25528 ÷ 131072     		y = 0.19476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477249145507812 × 2 - 1) × π
    -0.045501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14294783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19476318359375 × 2 - 1) × π
    0.6104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91785947999921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14294783} λ = -0.14294783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91785947999921))-π/2
    2×atan(6.8063736863412)-π/2
    2×1.42491886679797-π/2
    2.84983773359594-1.57079632675     		φ = 1.27904141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14294783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.190307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27904141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.283675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62554 KachelY 25528 -0.14294783 1.27904141 -8.190307 73.283675
    Oben rechts KachelX + 1 62555 KachelY 25528 -0.14289990 1.27904141 -8.187561 73.283675
    Unten links KachelX 62554 KachelY + 1 25529 -0.14294783 1.27902762 -8.190307 73.282885
    Unten rechts KachelX + 1 62555 KachelY + 1 25529 -0.14289990 1.27902762 -8.187561 73.282885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27904141-1.27902762) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dl = 87.8560900007934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27904141-1.27902762) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dr = 87.8560900007934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14294783--0.14289990) × cos(1.27904141) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.287633422184281 × 6371000     		do = 87.8323256940419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14294783--0.14289990) × cos(1.27902762) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.2876466293995 × 6371000     		du = 87.8363586760919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27904141)-sin(1.27902762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287633422184281-0.2876466293995)×R²
    abs(-0.14289990--0.14294783)×1.32072152193574e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.32072152193574e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.32072152193574e-05×40589641000000     		ar = 7716.78187236105m²