Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62551 / 79097
↖ ↑ ↗
← S 34.870159°
W  8.198548°		 ← 250.59 m → S 34.870159°
W  8.195801°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
S 34.872412°
W  8.198548°		 ← 250.58 m →
62 773 m²		 S 34.872412°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477230072021484 y=0.603466033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477230072021484 × 217)
    floor (0.477230072021484 × 131072)
    floor (62551.5)     		tx = 62551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603466033935547 × 217)
    floor (0.603466033935547 × 131072)
    floor (79097.5)     		ty = 79097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62551 / 79097 ti = "17/62551/79097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62551/79097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62551 ÷ 217
    62551 ÷ 131072     		x = 0.477226257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79097 ÷ 217
    79097 ÷ 131072     		y = 0.603462219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477226257324219 × 2 - 1) × π
    -0.0455474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14309165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603462219238281 × 2 - 1) × π
    -0.206924438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.650072295747582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14309165} λ = -0.14309165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650072295747582))-π/2
    2×atan(0.522008036435562)-π/2
    2×0.481098625792119-π/2
    0.962197251584238-1.57079632675     		φ = -0.60859908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14309165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.198548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60859908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.870159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62551 KachelY 79097 -0.14309165 -0.60859908 -8.198548 -34.870159
    Oben rechts KachelX + 1 62552 KachelY 79097 -0.14304371 -0.60859908 -8.195801 -34.870159
    Unten links KachelX 62551 KachelY + 1 79098 -0.14309165 -0.60863840 -8.198548 -34.872412
    Unten rechts KachelX + 1 62552 KachelY + 1 79098 -0.14304371 -0.60863840 -8.195801 -34.872412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60859908--0.60863840) × R
    3.93200000000649e-05 × 6371000     		dl = 250.507720000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60859908--0.60863840) × R
    3.93200000000649e-05 × 6371000     		dr = 250.507720000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14309165--0.14304371) × cos(-0.60859908) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820449754754196 × 6371000     		do = 250.5864734786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14309165--0.14304371) × cos(-0.60863840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.82042727414316 × 6371000     		du = 250.579607321338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60859908)-sin(-0.60863840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820449754754196-0.82042727414316)×R²
    abs(-0.14304371--0.14309165)×2.24806110353803e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24806110353803e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24806110353803e-05×40589641000000     		ar = 62772.9861293646m²