Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62550 / 34670
↖ ↑ ↗
← N 64.342287°
W  8.201294°		 ← 132.22 m → N 64.342287°
W  8.198548°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 64.341097°
W  8.201294°		 ← 132.23 m →
17 488 m²		 N 64.341097°
W  8.198548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477222442626953 y=0.264514923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477222442626953 × 217)
    floor (0.477222442626953 × 131072)
    floor (62550.5)     		tx = 62550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264514923095703 × 217)
    floor (0.264514923095703 × 131072)
    floor (34670.5)     		ty = 34670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62550 / 34670 ti = "17/62550/34670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62550/34670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62550 ÷ 217
    62550 ÷ 131072     		x = 0.477218627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34670 ÷ 217
    34670 ÷ 131072     		y = 0.264511108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264511108398438 × 2 - 1) × π
    0.470977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47962034367265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14313958} λ = -0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47962034367265))-π/2
    2×atan(4.39127818785248)-π/2
    2×1.34689053694373-π/2
    2.69378107388745-1.57079632675     		φ = 1.12298475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12298475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.342287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62550 KachelY 34670 -0.14313958 1.12298475 -8.201294 64.342287
    Oben rechts KachelX + 1 62551 KachelY 34670 -0.14309165 1.12298475 -8.198548 64.342287
    Unten links KachelX 62550 KachelY + 1 34671 -0.14313958 1.12296399 -8.201294 64.341097
    Unten rechts KachelX + 1 62551 KachelY + 1 34671 -0.14309165 1.12296399 -8.198548 64.341097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12298475-1.12296399) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dl = 132.261960001115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12298475-1.12296399) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dr = 132.261960001115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14313958--0.14309165) × cos(1.12298475) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.432993934783163 × 6371000     		do = 132.219906903079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14313958--0.14309165) × cos(1.12296399) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.433012647688131 × 6371000     		du = 132.225621113727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12298475)-sin(1.12296399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432993934783163-0.433012647688131)×R²
    abs(-0.14309165--0.14313958)×1.87129049684098e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.87129049684098e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.87129049684098e-05×40589641000000     		ar = 17488.0419251956m²