Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6255 / 7281
↖ ↑ ↗
← N 19.621892°
W 42.561035°		 ← 2 301.40 m → N 19.621892°
W 42.539062°		 →
↑
2 301.46 m
↓
↑
2 301.46 m
↓
N 19.601194°
W 42.561035°		 ← 2 301.69 m →
5 296 910 m²		 N 19.601194°
W 42.539062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381805419921875 y=0.444427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381805419921875 × 214)
    floor (0.381805419921875 × 16384)
    floor (6255.5)     		tx = 6255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444427490234375 × 214)
    floor (0.444427490234375 × 16384)
    floor (7281.5)     		ty = 7281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6255 / 7281 ti = "14/6255/7281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6255/7281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6255 ÷ 214
    6255 ÷ 16384     		x = 0.38177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7281 ÷ 214
    7281 ÷ 16384     		y = 0.44439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74283020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74283020} λ = -0.74283020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349364124430969))-π/2
    2×atan(1.41816548503879)-π/2
    2×0.956631475401696-π/2
    1.91326295080339-1.57079632675     		φ = 0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74283020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6255 KachelY 7281 -0.74283020 0.34246662 -42.561035 19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 6256 KachelY 7281 -0.74244670 0.34246662 -42.539062 19.621892
    Unten links KachelX 6255 KachelY + 1 7282 -0.74283020 0.34210538 -42.561035 19.601194
    Unten rechts KachelX + 1 6256 KachelY + 1 7282 -0.74244670 0.34210538 -42.539062 19.601194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34246662-0.34210538) × R
    0.000361239999999985 × 6371000     		dl = 2301.4600399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34246662-0.34210538) × R
    0.000361239999999985 × 6371000     		dr = 2301.4600399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74283020--0.74244670) × cos(0.34246662) × R
    0.000383499999999981 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 2301.39539335476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74283020--0.74244670) × cos(0.34210538) × R
    0.000383499999999981 × 0.942050459554847 × 6371000     		du = 2301.69163374536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34246662)-sin(0.34210538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.942050459554847)×R²
    abs(-0.74244670--0.74283020)×0.000121247082804476×R²
    0.000383499999999981×0.000121247082804476×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121247082804476×40589641000000     		ar = 5296910.48435775m²