Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6255 / 6285
↖ ↑ ↗
← S 68.863517°
E 94.877930°		 ← 1 762.02 m → S 68.863517°
E 94.921875°		 →
↑
1 761.39 m
↓
↑
1 761.39 m
↓
S 68.879358°
E 94.877930°		 ← 1 760.76 m →
3 102 503 m²		 S 68.879358°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76361083984375 y=0.76727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76361083984375 × 213)
    floor (0.76361083984375 × 8192)
    floor (6255.5)     		tx = 6255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76727294921875 × 213)
    floor (0.76727294921875 × 8192)
    floor (6285.5)     		ty = 6285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6255 / 6285 ti = "13/6255/6285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6255/6285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6255 ÷ 213
    6255 ÷ 8192     		x = 0.7635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6285 ÷ 213
    6285 ÷ 8192     		y = 0.7672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    0.527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65593226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67894197229285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65593226} λ = 1.65593226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67894197229285))-π/2
    2×atan(0.186571269222374)-π/2
    2×0.18445061030576-π/2
    0.368901220611521-1.57079632675     		φ = -1.20189511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65593226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20189511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.863517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6255 KachelY 6285 1.65593226 -1.20189511 94.877930 -68.863517
    Oben rechts KachelX + 1 6256 KachelY 6285 1.65669925 -1.20189511 94.921875 -68.863517
    Unten links KachelX 6255 KachelY + 1 6286 1.65593226 -1.20217158 94.877930 -68.879358
    Unten rechts KachelX + 1 6256 KachelY + 1 6286 1.65669925 -1.20217158 94.921875 -68.879358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20189511--1.20217158) × R
    0.000276469999999973 × 6371000     		dl = 1761.39036999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20189511--1.20217158) × R
    0.000276469999999973 × 6371000     		dr = 1761.39036999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65593226-1.65669925) × cos(-1.20189511) × R
    0.000766990000000023 × 0.360590788248518 × 6371000     		do = 1762.02446721225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65593226-1.65669925) × cos(-1.20217158) × R
    0.000766990000000023 × 0.360332904233438 × 6371000     		du = 1760.76431870296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20189511)-sin(-1.20217158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360590788248518-0.360332904233438)×R²
    abs(1.65669925-1.65593226)×0.000257884015079923×R²
    0.000766990000000023×0.000257884015079923×6371000²
    0.000766990000000023×0.000257884015079923×40589641000000     		ar = 3102503.14128827m²