Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62549 / 79098
↖ ↑ ↗
← S 34.872412°
W  8.204041°		 ← 250.58 m → S 34.872412°
W  8.201294°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
S 34.874665°
W  8.204041°		 ← 250.57 m →
62 787 m²		 S 34.874665°
W  8.201294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477214813232422 y=0.603473663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477214813232422 × 217)
    floor (0.477214813232422 × 131072)
    floor (62549.5)     		tx = 62549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603473663330078 × 217)
    floor (0.603473663330078 × 131072)
    floor (79098.5)     		ty = 79098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62549 / 79098 ti = "17/62549/79098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62549/79098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62549 ÷ 217
    62549 ÷ 131072     		x = 0.477210998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79098 ÷ 217
    79098 ÷ 131072     		y = 0.603469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477210998535156 × 2 - 1) × π
    -0.0455780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14318752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603469848632812 × 2 - 1) × π
    -0.206939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.650120232647202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14318752} λ = -0.14318752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650120232647202))-π/2
    2×atan(0.521983013588483)-π/2
    2×0.48107896115276-π/2
    0.96215792230552-1.57079632675     		φ = -0.60863840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14318752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.204041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60863840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.872412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62549 KachelY 79098 -0.14318752 -0.60863840 -8.204041 -34.872412
    Oben rechts KachelX + 1 62550 KachelY 79098 -0.14313958 -0.60863840 -8.201294 -34.872412
    Unten links KachelX 62549 KachelY + 1 79099 -0.14318752 -0.60867773 -8.204041 -34.874665
    Unten rechts KachelX + 1 62550 KachelY + 1 79099 -0.14313958 -0.60867773 -8.201294 -34.874665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60863840--0.60867773) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dl = 250.571430000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60863840--0.60867773) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dr = 250.571430000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14318752--0.14313958) × cos(-0.60863840) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.82042727414316 × 6371000     		do = 250.579607321483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14318752--0.14313958) × cos(-0.60867773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.820404786545862 × 6371000     		du = 250.572739030438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60863840)-sin(-0.60867773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82042727414316-0.820404786545862)×R²
    abs(-0.14313958--0.14318752)×2.2487597298726e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2487597298726e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2487597298726e-05×40589641000000     		ar = 62787.2300447054m²