Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62548 / 40123
↖ ↑ ↗
← N 57.048200°
W  8.206787°		 ← 166.13 m → N 57.048200°
W  8.204041°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.046706°
W  8.206787°		 ← 166.14 m →
27 604 m²		 N 57.046706°
W  8.204041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477207183837891 y=0.306118011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477207183837891 × 217)
    floor (0.477207183837891 × 131072)
    floor (62548.5)     		tx = 62548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306118011474609 × 217)
    floor (0.306118011474609 × 131072)
    floor (40123.5)     		ty = 40123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62548 / 40123 ti = "17/62548/40123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62548/40123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62548 ÷ 217
    62548 ÷ 131072     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40123 ÷ 217
    40123 ÷ 131072     		y = 0.306114196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306114196777344 × 2 - 1) × π
    0.387771606445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21822043004449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21822043004449))-π/2
    2×atan(3.3811653563071)-π/2
    2×1.28323762784431-π/2
    2.56647525568861-1.57079632675     		φ = 0.99567893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99567893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.048200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62548 KachelY 40123 -0.14323546 0.99567893 -8.206787 57.048200
    Oben rechts KachelX + 1 62549 KachelY 40123 -0.14318752 0.99567893 -8.204041 57.048200
    Unten links KachelX 62548 KachelY + 1 40124 -0.14323546 0.99565285 -8.206787 57.046706
    Unten rechts KachelX + 1 62549 KachelY + 1 40124 -0.14318752 0.99565285 -8.204041 57.046706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99567893-0.99565285) × R
    2.60799999999284e-05 × 6371000     		dl = 166.155679999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99567893-0.99565285) × R
    2.60799999999284e-05 × 6371000     		dr = 166.155679999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14318752) × cos(0.99567893) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543933305422455 × 6371000     		do = 166.131232319287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14318752) × cos(0.99565285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543955189707502 × 6371000     		du = 166.137916343242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99567893)-sin(0.99565285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543933305422455-0.543955189707502)×R²
    abs(-0.14318752--0.14323546)×2.18842850475687e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18842850475687e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18842850475687e-05×40589641000000     		ar = 27604.2031709931m²