Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62548 / 25585
↖ ↑ ↗
← N 73.238585°
W  8.206787°		 ← 88.08 m → N 73.238585°
W  8.204041°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 73.237793°
W  8.206787°		 ← 88.08 m →
7 761 m²		 N 73.237793°
W  8.204041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477207183837891 y=0.195201873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477207183837891 × 217)
    floor (0.477207183837891 × 131072)
    floor (62548.5)     		tx = 62548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195201873779297 × 217)
    floor (0.195201873779297 × 131072)
    floor (25585.5)     		ty = 25585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62548 / 25585 ti = "17/62548/25585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62548/25585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62548 ÷ 217
    62548 ÷ 131072     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25585 ÷ 217
    25585 ÷ 131072     		y = 0.195198059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195198059082031 × 2 - 1) × π
    0.609603881835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91512707672086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91512707672086))-π/2
    2×atan(6.78780131372807)-π/2
    2×1.42452538695071-π/2
    2.84905077390142-1.57079632675     		φ = 1.27825445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27825445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.238585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62548 KachelY 25585 -0.14323546 1.27825445 -8.206787 73.238585
    Oben rechts KachelX + 1 62549 KachelY 25585 -0.14318752 1.27825445 -8.204041 73.238585
    Unten links KachelX 62548 KachelY + 1 25586 -0.14323546 1.27824062 -8.206787 73.237793
    Unten rechts KachelX + 1 62549 KachelY + 1 25586 -0.14318752 1.27824062 -8.204041 73.237793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27825445-1.27824062) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27825445-1.27824062) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14318752) × cos(1.27825445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288387036565069 × 6371000     		do = 88.0808240492866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14318752) × cos(1.27824062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288400278955076 × 6371000     		du = 88.0848686160537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27825445)-sin(1.27824062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288387036565069-0.288400278955076)×R²
    abs(-0.14318752--0.14323546)×1.3242390006607e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3242390006607e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3242390006607e-05×40589641000000     		ar = 7761.06150746024m²